Nombre à virgule dans un Cosinus

**tennis488** · 26/10/2021, 16h05

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un projet en école d'ingénieur, je dois calculer la racine d'une fonction f(x)=cos(x)-x+PI/2 par la méthode du point fixe. Voici mon code ci-joint, mais je ne parviens à faire prendre la valeur de x0 à mon cosinus car ce dernier ne prends pas les double mais que des entiers. Je ne sais donc pas comment faire...

Si vous pouviez m'aiguiller

Code :

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653
 
// Prototypes
double toSolve (double x);
double resolution (double x0);
 
 
int main()
{
    // Déclarations des variables
 
    double x0;                              // Valeur initiale
    double racine;                          // Position à laquelle l'avion touche le sol
 
    // On commence par entrer la valeur initale
    printf("Entrez la valeur initiale : ");
    scanf("%lf",&x0);
 
    // Calcul de la racine de la fonction
 
    racine=resolution(x0);                           // On appelle uniquement la fonction resolution pour calculer la racine de la fonction donnée
 
    printf("\nLa racine de notre fonction est : %lf \n",racine);
 
    return 0;
}
 
double toSolve (double x)
{
    double y;
 
    y=cos(x)+(PI/2);                                         // Ecriture de la fonction donnée par le sujet
 
    return y;                                                // On retourne la valeur de y image de la fonction en x
}
 
double resolution (double x0)
{
      while (fabs(x0-toSolve(x0))>1e-10)                  // Lorsque l'écart entre x et f(x) est supérieur à l'erreur donnée,
        {
            x0=toSolve(x0);                                  // On donne la valeur de l'ancienne image à x au rang suivant
        }
 
    return x0;
}

**Sve@r** · 26/10/2021, 22h09

Envoyé par tennis488

Bonjour à tous,

Salut

Envoyé par tennis488

...mais je ne parviens à faire prendre la valeur de x0 à mon cosinus car ce dernier ne prends pas les double mais que des entiers.

Je ne comprends pas cette phrase. La fonction cos a pour signature double cos(double). Elle est donc bien prévue pour recevoir un double et non pas un int. De fait, chez-moi ton code fonctionne parfaitement. Sauf concernant la boucle car la valeur x0-toSolve(x0) oscille indéfiniment entre pi/2+epsilon et pi/2-epsilon et ne tend jamais vers 0 ce qui donne une boucle infinie mais cela n'a rien à voir avec un souci lié à cos(x).

Sinon concernant ton code, dans la fonction toSolve() la variable "y" ne sert à rien ainsi que les parenthèses à PI/2. Et dans la fonction resolution() ce serait bien d'éviter d'appeler deux fois "toSolve()" (on n'appelle pas deux fois une fonction alors que le contexte d'appel n'a pas changé). Et pour les prototypes, tu n'es pas obligé de donner un non aux paramètres.

**tennis488** · 27/10/2021, 11h42

Envoyé par Sve@r

Salut

Je ne comprends pas cette phrase. La fonction cos a pour signature double cos(double). Elle est donc bien prévue pour recevoir un double et non pas un int. De fait, chez-moi ton code fonctionne parfaitement. Sauf concernant la boucle car la valeur x0-toSolve(x0) oscille indéfiniment entre pi/2+epsilon et pi/2-epsilon et ne tend jamais vers 0 ce qui donne une boucle infinie mais cela n'a rien à voir avec un souci lié à cos(x).

Sinon concernant ton code, dans la fonction toSolve() la variable "y" ne sert à rien ainsi que les parenthèses à PI/2. Et dans la fonction resolution() ce serait bien d'éviter d'appeler deux fois "toSolve()" (on n'appelle pas deux fois une fonction alors que le contexte d'appel n'a pas changé). Et pour les prototypes, tu n'es pas obligé de donner un non aux paramètres.

D'accord, je comprends vos remarques et je vous remercie de votre aide. Cependant, je ne sais pas comment faire pour ne plus avoir de valeur qui oscillent et faire en sorte que la valeur x0-toSolve(x0) tendent vers 0 et que mon programme s'arrête lorsque cette valeur est inférieure à ma précision de 10^-10.

Ci-joint la fonction toSolve est-elle mieux comme ça ?

Code :

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double toSolve (double x)
{
    return (cos(x)+(PI/2));
}

**Sve@r** · 27/10/2021, 12h06

Envoyé par tennis488

Cependant, je ne sais pas comment faire pour ne plus avoir de valeur qui oscillent et faire en sorte que la valeur x0-toSolve(x0) tendent vers 0 et que mon programme s'arrête lorsque cette valeur est inférieure à ma précision de 10^-10.

Là il y a deux questions en une seule

comment faire pour que x0-toSolve(x0) tende vers 0
comment détecter l'oscillation et, de fait, la boucle infinie qui en résulte

Le premier point est un point purement mathématique. Si une fonction ne tend pas vers 0 (ni vers aucune autre valeur finie), alors elle ne tend pas vers 0 et rien ne peut changer ce fait
Le second point lui est plus du domaine de la programmation. On peut par exemple mémoriser les n derniers résultats et à chaque nouveau calcul on regarde si ce nouveau calcul a déjà été trouvé dans les n précédents. Plus "n" sera grand plus on a de chances de sortir plus vite de la boucle.
Il y a quand-même un détail que je remarque: la fonction initiale est f(x)=cos(x)-x+pi/2 ou bien f(x)=-x + cos(x) + pi/2. Or ton code lui calcule x-cos(x) - pi/2 soit -f(x). La fonction est-elle impaire ?

PS: en supprimant "+pi/2" chez-moi ça sort un résultat direct (en saisissant 4.5 comme valeur initiale).

Envoyé par tennis488

Ci-joint la fonction toSolve est-elle mieux comme ça ?

Code :

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double toSolve (double x)
{
    return (cos(x)+(PI/2));
}

Mieux en effet. Au-moins la variable inutile a disparu. Toutefois la division étant prioritaire sur l'addition ne nécessite pas de parenthèses. De même pas non plus besoin de parenthèses au return

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double toSolve (double x) {
    return cos(x) + PI/2;
}

**tennis488** · 27/10/2021, 14h22

Envoyé par Sve@r

Il y a quand-même un détail que je remarque: la fonction initiale est f(x)=cos(x)-x+pi/2 ou bien f(x)=-x + cos(x) + pi/2. Or ton code lui calcule x-cos(x) - pi/2 soit -f(x). La fonction est-elle impaire ?

PS: en supprimant "+pi/2" chez-moi ça sort un résultat direct (en saisissant 4.5 comme valeur initiale).

Oui en effet, la fonction initiale dont je dois calculer la racine est f(x)=cos(x)-x+PI/2, donc je regarde l'abscisse du point fixe entre la fonction y=xet g(x)=cos(x)+PI/2, et normalement je dois tomber directement sur la racine lorsque la précision est atteinte...

Comme vous, j'avais déjà réalisé cet exercice juste avec g(x)=cos(x) et j'avais un résultat directement, mais là le PI/2 m'embête

Envoyé par Sve@r

la fonction initiale est f(x)=cos(x)-x+pi/2 ou bien f(x)=-x + cos(x) + pi/2

Pour moi, il s'agit de la même fonction initiale ...

De plus je vous ai tracer les trois courbes qui sont utiles au problème, et normalement la racine est égale à 1,57..

Nom : Tracé des fonctions.PNG
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**Sve@r** · 27/10/2021, 16h05

D'accord, je comprends mieux. L'intersection de la courbe verte et rouge (que tu as je pense tracé à partir de https://www.mathe-fa.de) donne x=1.57 et si on calcule l'équation de entre y=x et y=cos(x) + pi/2 ça donne cos(x) + pi/2 - x = 0

Bon j'ai fait un truc qui détecte l'oscillation. Mais de par la précision, j'ai été obligé de réduire l'epsilon à 1e-3.

Code c :

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#define PI 3.141592653
#define TMP			10
 
// Prototypes
double toSolve(double);
double resolution(double);
void push(double, double[], size_t);
size_t inTab(double, double[], size_t);
 
int main()
{
	// Déclarations des variables
 
	double x0;							  // Valeur initiale
	double racine;						  // Position à laquelle l'avion touche le sol
 
	// On commence par entrer la valeur initale
	printf("Entrez la valeur initiale : ");
	scanf("%lf", &x0);
	printf("x=%lf\n", x0);
 
	// Calcul de la racine de la fonction
	racine=resolution(x0);						   // On appelle uniquement la fonction resolution pour calculer la racine de la fonction donnée
 
	printf("\nLa racine de notre fonction est : %lf \n",racine);
 
	return 0;
}
 
double toSolve(double x)
{
	return cos(x) + PI/2;
}
 
// Insère un élément au début d'un tableau en décalant tout le reste
void push(double x, double tmp[], size_t n) {
	memmove(tmp+1, tmp, (n-1) * sizeof(*tmp));
	tmp[0]=x;
}
 
// Vérifie si un élément est présent dans un tableau
size_t inTab(double x, double tmp[], size_t n) {
	size_t i;
	for (i=0; i < n; i++) {
		if (fabs(tmp[i] - x) < 1e-3) return i+1;
	}
	return 0;
}
 
double resolution (double x0)
{
	double tmp[TMP]={0};
 
	while (1) {
		x0=toSolve(x0);
		printf("x0=%lf\n", x0);
		if (inTab(x0, tmp, TMP)) break;
		push(x0, tmp, TMP);
	}
	return x0;
}

**kaitlyn** · 27/10/2021, 22h58

Envoyé par tennis488

Cependant, je ne sais pas comment faire pour ne plus avoir de valeur qui oscillent et faire en sorte que la valeur x0-toSolve(x0) tendent vers 0 et que mon programme s'arrête lorsque cette valeur est inférieure à ma précision de 10^-10.

Salut,

C'est normal d'avoir une oscillation car c'est le mode d'approximation de la valeur recherchée. Le problème c'est que tu demandes une trop grande précision et que tu n'as pas le temps d'attendre le résultat. À 1e-3 c'est rapide, à 1e-4 c'est raisonnable, au-delà il faut s'armer de patience.

Aussi à la place de pi/2 tu peux utiliser M_PI_2, c'est pris en charge par la plupart des compilateurs, regarde aussi les options de compilation "fast math" qui améliorent les temps de calcul.

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#include <stdio.h>
#define _USE_MATH_DEFINES // M_PI_2
#include <math.h>
 
double f(double x)
{
    return cos(x)+M_PI_2;
}
 
int main()
{
    double x= 0.0;
    const double precision= 1E-3;
    double y;
    while (y= f(x), fabs(y-x)>precision)
        x= y;
    printf("x=%f", x);
 
    return 0;
}

**tennis488** · 01/11/2021, 12h46

Envoyé par kaitlyn

Salut,

C'est normal d'avoir une oscillation car c'est le mode d'approximation de la valeur recherchée. Le problème c'est que tu demandes une trop grande précision et que tu n'as pas le temps d'attendre le résultat. À 1e-3 c'est rapide, à 1e-4 c'est raisonnable, au-delà il faut s'armer de patience.

Le problème, c'est que la précision est imposée à eps=1e-10 !

Le calcul devient alors interminable, est-ce qu'il ne faudrait pas regarder dans l'optimisation des fonctions écrites afin de rendre plus rapide la convergence vers la racine finale 1,57...?

**kaitlyn** · 01/11/2021, 20h39

La progression est ici linéaire mais on peut très bien augmenter le degré de convergence. Il peut être d'ordre quadratique (2nd degré), cubique, quartique... Par contre, est-ce ce que ça rentre dans le cadre de ton cours, est ce que ça répond à ce qui est attendu de toi, ça je ne sais pas. Voici tout de même un exemple:

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#include <stdio.h>
#define _USE_MATH_DEFINES //M_PI_2: 1.57079632679489661923
#include <math.h>
 
inline double f(double x)
{
    return cos(x)+M_PI_2;
}
 
//convergence accelerator,
//  here quadratic example with delta-squared method (Aitken? Steffensen?)
inline double g(double y0)
{
    double y1= f(y0);
    double y2= f(y1);
    return y0-pow(y1-y0,2)/(y2+y0-2*y1); 
}
 
int main()
{
    double x= 0.0;
    const double precision= 1E-10;
    double y;
    while (y= g(x), fabs(y-x)>precision)
        x= y;
    printf("x=%.20f", x);
 
    return 0;
}

Nombre à virgule dans un Cosinus

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