Discussion :

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Bonjour,
Je suis collé avec ce problème de tirage au sort de 20 équipes de foot: pourriez-vous m'aider ?

I have 20 football teams: 11 are from Canada, 9 are from Mexico.
I will draw randomly 10 pairings out of those 20 teams so as to create 10 matches...
What are the probabilities to have :
- only 1 pairing comprised of 2 canadian teams ?
- only 1 pairing comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 2 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 2 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 3 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 3 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 4 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 4 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- at least 4 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- at least 4 pairings each comprised of 2 mexican teams ?

Merci beaucoup !

[tbc92]

Tu as différents cas :
- On a 5 matchs entre 2 équipes canadiennes, 1 match avec une équipe de chaque pays, et 4 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 4 matchs entre 2 équipes canadiennes, 3 matchs avec une équipe de chaque pays, et 3 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 3 matchs entre 2 équipes canadiennes, 5 matchs avec une équipe de chaque pays, et 2 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 2 matchs entre 2 équipes canadiennes, 7 matchs avec une équipe de chaque pays, et 1 match entre 2 équipes mexicaines.
- On a 1 match entre 2 équipes canadiennes, 9 matchs avec une équipe de chaque pays, et 0 match entre 2 équipes mexicaines.
Et c'est tout, pas d'autres configurations.

Il faut donc calculer les probabilités de ces 5 configurations.
Ce n'est pas simple.
C'est un exercice 'scolaire'. Il faut que tu cherches par toi-même, que tu proposes des choses. Si on fait l'exercice à ta place, ça ne sert à rien. Ca sert juste à saboter le travail du prof qui s'embête à soumettre des exercices intéressants..

[blob123]

Merci tbc92 pour ta réponse.
Je livre des éléments de réponse et pourquoi je pense que ma méthode n'est pas adéquate:
La probabilité selon moi que i équipes du Canada soient tirées ensemble est COMBIN(11,i)/COMBIN(20,i).
Sauf que la probabilité qu'il y ait au moins 1 pair d'équipes du Canada qui soit tirée ensemble est donc sum(COMBIN(11,i)/COMBIN(20,i)) pour 1<=i<=5. J'obtiens 37.09% pour cette probabilité avec la méthode ci-dessus, ce qui me parait faux, car en réalité cela devrait être 100% (nous sommes sûrs qu'il y aura au moins 1 paire d'équipes canadiennes tirées ensemble)...

[tbc92]

Les cas de figure où un calcul de probabilité, c'est l'application d'une formule de cours, ces cas sont très rares.
La formule Combin((...) s'applique à une configuration bien précise. Elle s'applique à cette configuration, et uniquement cette configuration.

Dès qu'on a une question un peu 'originale', il faut forcément chercher un peu plus.

Déjà la première question qu'on doit se poser, c'est combien de configurations en tout. On a 20 équipes. On doit faire 10 matches. Combien de possibilités ?
Ce n'est pas simple du tout. Il n'y a aucune formule de cours toute faite qui donne la solution.
Les questions suivantes (combien de possibilités avec 1 seul match Canada-Canada par exemple), ces questions suivantes seront du même ordre. Peut-être un peu plus compliquées.

[tbc92]

20 équipes, on doit faire 10 matchs. Combien de dispositions ?
On peut voir le problème de 2 façons.
* on a 20 sièges, numérotés A1 A2 ... A10 B1 B2 ... B10. Combien de façons d'assoir 20 personnes sur ces 20 sièges ? 20! (factorielle 20)
On a donc nos 10 matchs (A1 contre B1, A2 contre B2 ...).
Mais dans ce comptage, si on permute les personnes assises en A1 et B1, ça ne change rien en terme de matchs. Il faut diviser le comptage ci-dessus par 2. Et idem pour chacun des 10 matchs. Donc 20!/2^10
Et, nouveau cas de double-compte : on a un match (A1 B1) et un autre match (A2 B2)
Si on permute le couple (A1 B1) avec le couple (A2 B2), ça comptait comme 2 combinaisons différentes dans le décompte ci-dessus, alors que ça ne change rien en terme de matchs. Il faut donc diviser le nombre ci-dessus par 10!
Résultat final avec cette première méthode : 20! / ( 2^10 * 10!)

* On a nos 20 équipes, qu'on classe par ordre alphabétique.
La première équipe a un adversaire : 19 possibilités.
La première équipe restante a un adversaire : 17 possibilités. Etc etc
Résultat avec cette 2ème méthode : 19*17*15*13*11*9*7*5*3*1

Deux résultats différents ? Non. Deux fois le même résultat, heureusement !

Reste à calculer le nombre de configurations avec exactement k matchs entre 2 équies canadiennes (pour k=1,2,3,4,5) ... et à vérifier que la somme de ces 5 nombres donne bien le nombre total ci-dessus.

[blob123]

Merci beaucoup tbc92.

Pour k=1, est-ce que le numérateur est combin(11,2)*9!, soit 55*9! ?

Et pour k=2, est-ce que le numérateur est combin(11,2)*combin(9,2)*9!, soit 55*36*9! ?

Je ne suis pas sûr encore d'avoir la logique...

Merci encore.