Discussion :

[blob123]

Bonjour,
Je suis collé avec ce problème de tirage au sort de 20 équipes de foot: pourriez-vous m'aider ?

I have 20 football teams: 11 are from Canada, 9 are from Mexico.
I will draw randomly 10 pairings out of those 20 teams so as to create 10 matches...
What are the probabilities to have :
- only 1 pairing comprised of 2 canadian teams ?
- only 1 pairing comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 2 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 2 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 3 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 3 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- exactly 4 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- exactly 4 pairings each comprised of 2 mexican teams ?
- at least 4 pairings each comprised of 2 canadian teams ?
- at least 4 pairings each comprised of 2 mexican teams ?

Merci beaucoup !

[tbc92]

Tu as différents cas :
- On a 5 matchs entre 2 équipes canadiennes, 1 match avec une équipe de chaque pays, et 4 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 4 matchs entre 2 équipes canadiennes, 3 matchs avec une équipe de chaque pays, et 3 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 3 matchs entre 2 équipes canadiennes, 5 matchs avec une équipe de chaque pays, et 2 matchs entre 2 équipes mexicaines.
- On a 2 matchs entre 2 équipes canadiennes, 7 matchs avec une équipe de chaque pays, et 1 match entre 2 équipes mexicaines.
- On a 1 match entre 2 équipes canadiennes, 9 matchs avec une équipe de chaque pays, et 0 match entre 2 équipes mexicaines.
Et c'est tout, pas d'autres configurations.

Il faut donc calculer les probabilités de ces 5 configurations.
Ce n'est pas simple.
C'est un exercice 'scolaire'. Il faut que tu cherches par toi-même, que tu proposes des choses. Si on fait l'exercice à ta place, ça ne sert à rien. Ca sert juste à saboter le travail du prof qui s'embête à soumettre des exercices intéressants..

[blob123]

Merci tbc92 pour ta réponse.
Je livre des éléments de réponse et pourquoi je pense que ma méthode n'est pas adéquate:
La probabilité selon moi que i équipes du Canada soient tirées ensemble est COMBIN(11,i)/COMBIN(20,i).
Sauf que la probabilité qu'il y ait au moins 1 pair d'équipes du Canada qui soit tirée ensemble est donc sum(COMBIN(11,i)/COMBIN(20,i)) pour 1<=i<=5. J'obtiens 37.09% pour cette probabilité avec la méthode ci-dessus, ce qui me parait faux, car en réalité cela devrait être 100% (nous sommes sûrs qu'il y aura au moins 1 paire d'équipes canadiennes tirées ensemble)...

[tbc92]

Les cas de figure où un calcul de probabilité, c'est l'application d'une formule de cours, ces cas sont très rares.
La formule Combin((...) s'applique à une configuration bien précise. Elle s'applique à cette configuration, et uniquement cette configuration.

Dès qu'on a une question un peu 'originale', il faut forcément chercher un peu plus.

Déjà la première question qu'on doit se poser, c'est combien de configurations en tout. On a 20 équipes. On doit faire 10 matches. Combien de possibilités ?
Ce n'est pas simple du tout. Il n'y a aucune formule de cours toute faite qui donne la solution.
Les questions suivantes (combien de possibilités avec 1 seul match Canada-Canada par exemple), ces questions suivantes seront du même ordre. Peut-être un peu plus compliquées.

[tbc92]

20 équipes, on doit faire 10 matchs. Combien de dispositions ?
On peut voir le problème de 2 façons.
* on a 20 sièges, numérotés A1 A2 ... A10 B1 B2 ... B10. Combien de façons d'assoir 20 personnes sur ces 20 sièges ? 20! (factorielle 20)
On a donc nos 10 matchs (A1 contre B1, A2 contre B2 ...).
Mais dans ce comptage, si on permute les personnes assises en A1 et B1, ça ne change rien en terme de matchs. Il faut diviser le comptage ci-dessus par 2. Et idem pour chacun des 10 matchs. Donc 20!/2^10
Et, nouveau cas de double-compte : on a un match (A1 B1) et un autre match (A2 B2)
Si on permute le couple (A1 B1) avec le couple (A2 B2), ça comptait comme 2 combinaisons différentes dans le décompte ci-dessus, alors que ça ne change rien en terme de matchs. Il faut donc diviser le nombre ci-dessus par 10!
Résultat final avec cette première méthode : 20! / ( 2^10 * 10!)

* On a nos 20 équipes, qu'on classe par ordre alphabétique.
La première équipe a un adversaire : 19 possibilités.
La première équipe restante a un adversaire : 17 possibilités. Etc etc
Résultat avec cette 2ème méthode : 19*17*15*13*11*9*7*5*3*1

Deux résultats différents ? Non. Deux fois le même résultat, heureusement !

Reste à calculer le nombre de configurations avec exactement k matchs entre 2 équies canadiennes (pour k=1,2,3,4,5) ... et à vérifier que la somme de ces 5 nombres donne bien le nombre total ci-dessus.

[blob123]

Merci beaucoup tbc92.

Pour k=1, est-ce que le numérateur est combin(11,2)*9!, soit 55*9! ?

Et pour k=2, est-ce que le numérateur est combin(11,2)*combin(9,2)*9!, soit 55*36*9! ?

Je ne suis pas sûr encore d'avoir la logique...

Merci encore.

[tbc92]

Je recopie :

Reste à calculer le nombre de configurations avec exactement k matchs entre 2 équipes canadiennes (pour k=1,2,3,4,5) ... et à vérifier que la somme de ces 5 nombres donne bien le nombre total ci-dessus.

Tu as une idée pour k=1, idem pour k=2.
Tu peux généraliser cette idée pour k=3, k=4 et k=5.
Soit la somme des 5 nombres obtenus donne 19*17*15*13*11*9*7*5*3*1, et ça ne peut pas être une coïncidence, ta formule est probablement bonne.
Soit cette somme ne donne pas le total voulu, et il y a une erreur quelque part.

[blob123]

Je pense que ma formule est correcte pour k=1...

En revanche, elle ne l'est pas pour k=2 ...

tbc92, aurais-tu un petit indice à me donner ?

Pour k=2, est-ce que au moins combin(11,2)*combin(9,2) est juste pour probabiliser les 2 paires d'équipes canadiennes ?

Je me rends compte aussi que je dois modéliser 1 paire d'équipes mexicaines (=> combin(9,2) ), afin que les 7 derniers matchs soient entre Canada et Mexique ....

... donc pour finir: 7! ou 7!/2 .... ???

[tbc92]

Question 1 Un match entre 2 équipes canadiennes et 9 match Canada/Mexique.
Déjà, on a combien de façons de choisir les 2 équipes canadiennes ? 11*10/2
Ensuite, on a 9 matchs entre une équipe canadienne et une équipe mexicaine.
Pour la 1ère équipe canadienne, on a le choix entre 9 équipes
Pour la 2ème, on a le choix entre 8 équipes
Etc
Etc. on arrive bien au 55*9! que tu avais donné. On peut aussi l'écrire 11! /2. Le fait que tu écrives 55*9! montre que tu as raisonné comme moi. Ca aurait été bien que tu expliques toi-même comment tu arrives à ce 55*9!
Ecrire les choses, le détail de chaque argument, ça oblige à bien se concentrer sur ce qu'on fait. Et ça rassure vachement.

Question 2Deux matchs entre 2 équipes canadiennes, 1 match entre 2 équipes mexicaines, et 7 matchs Canada Mexique.
Pour le 1er match entre 2 équipes canadiennes, j'ai 11*10/2 possibilités.
Pour le 2ème match entre 2 équipes canadiennes, j'ai 9*8/2 possibilités.
Mais il faut que je divise par 2, parce que (A contre B)(C contre D) ou (C contre D)(A contre B), c'est pareil.
Pour le match entre 2 équipes mexicaines, j'ai 9*8/2 possibilités.
Et pour les 7 matchs Canada/Mexique, j'ai 7! possibilités.

Donc 11*10*9*8*9*8*7!/ 16 possibilités.

J'avais fait tous les calculs la semaine dernière, ça tombait juste. Mais je n'ai rien gardé. Là, j'écris mon message, et je pense que c'est bon.
Il faut absolument continuer, avec les 3 autres cas, et vérifier que le total donne le total voulu.
Il y a beaucoup de petits pièges, je peux me tromper.

[blob123]

Merci encore tbc92 pour tes explications détaillées et la confirmation de ma logique.

Je pense que j'ai juste maintenant:

paires d'équipes canadiennes et proba:
1 3.05%
2 27.44%
3 48.01%
4 20.00%
5 1.50%
Somme 100.00%

[tbc92]

J'ai bien aimé cet exercice. Ca demande de la méthode, et pas mal d'application.
Il faut connaître le cours, et il faut surtout avoir COMPRIS le cours.

A l'arrivée, autre controle de cohérence. On constate que les configurations les plus fréquentes sont avec 2 ou 3 matchs entre des équipes canadiennes, c'est assez conforme à l'intuition.

Dans un exercice comme ça, même si on demande uniquement certains des résultats, il faut calculer les autres résultats, vérifier que la somme fait 100%, et dire au prof qu'on a fait cette vérification.

[AndaHARTTg3]

J'ai toujours eu des problèmes avec les combinaisons et en général avec la combinatoire, pouvez-vous expliquer comment de tels exemples sont généralement comptés, selon quelles formules, quels sont les concepts de base? Avez-vous des livres de référence décents pour cette section?

[tbc92]

Un livre à conseiller ... aucune idée.
Mais de toutes façons, je pense qu'aucun livre ne sera vraiment idéal. Ce qu'il faut, c'est la pratique. Il faut faire des exercices, chercher soi-même des exercices, et vérifier si les solutions sont bonnes (via les corrigés des exercices, ou via ce forum).
Les cours ... un manuel scolaire de première ou de terminale dit tout ce qu'il faut savoir. Et ça tient sur 3 pages.
Les exercices, je ne sais pas où en trouver plein.