Surface du polygone formé par l'intersection d'un plan et d'un cube unitaire

**ToTo13** · 31/08/2006, 13h30

Bonjour,

tout est dans le titre :
- Je dispose d'un plan (équation, vecteur normal, ...) et d'un cube unitaire (arète de longueur 1) dont je connais la position et qui n'a subit aucune rotation.
- Je souhaiterai savoir comment calculer la surface du polygone formé par l'intersection du plan et du cube.

Trouver les points et les arètes d'intersections entre le plan et les arètes du cube est évident.
Calculer de manière "bourrin" la surface avec ces informations est faisable.

Ce que souhaiterai savoir, c'est s'il existe une manière intélligente d'y parvenir ?
Disons que intuitivement et d'après les caractéristiques mathématiques, il doit y avoir une fonction pouvant apporter la réponse...

Merci par avance...

**PRomu@ld** · 31/08/2006, 18h20

En fait, intuitivement je ferais comme ça :

une fois que tu as les points d'intersections du plan et du cube, tu triangularises le polygone obtenu et pour chacun des triangles, tu calcules l'aire (méthode de héron) et tu sommes le tout.

**adaneels** · 31/08/2006, 18h33

Comme le polygone obtenu par l'intersection du plan et du cube est quelconque, tu dois calculer les sommets de cette forme.
Donc calculer au maximum 12 points.

Si c'est un calcul d'aire, décomposé en triangles.
Mais si c'est toi qui a laissé ce message, tu le sais déjà :-/

Le mieux que je vois après pour optimiser le code à l'exécution si c'est un calcul d'aire, c'est de différencier les cas : calculer l'aire comme pour un losange pour 4 sommets par exemple.

Je ne vois pas de solution rapide et intelligente de faire cela, ou quoi que ce soit qui réduit le nombre de calculs.

**j.p.mignot** · 31/08/2006, 21h06

1- choisir un système d'axe où le plan est la plan xOy et z sa normale
2- calculer dans ce repère les coordonnées du sommet du cube ( rotation + translation )
3- en déduire les points d'intersection des côtés du cube avec le plan xOy
4- utliser Stokes ( somme ( rot(A). ds ) = somme ( A.dl ) )
on choisi le champ A tel que rot(A) = +-k ( par exemple A=-i où A=j où A = 1/2(j-i), ou ... )
d'où S = 0.5 * some ( ydx-xdy) = somme ( ydx) = -somme(xdy) = ...
avec n intercection qui sont des droites on ramène cette intégralle à une somme de différences.
Attention c'est une aire algébrique!

**larnicebafteur** · 31/08/2006, 22h04

Le polygone obtenu par l'intersection d'un cube par un plan peut être :

- un triangle ou
- un quadrilatère ou
- un pentagone ou
- un hexagone.

Dans un premier temps, il faut determiner dans quel cas on se situe puis connaitre les coordonnées des sommets de ce polygone.

Ensuite, si ce n'est pas un triangle, décomposer ce polygone en 2, 3 ou 4 triangles selon le cas puis calculer leurs aires.

Malheureusement, je ne pense pas qu'il existe de méthode directe !