Discussion :

[cyberlp]

Bonjour,

Je suis confronté à ce petit problème mathématique : j'associe à un nombre n ce qu'on peut appeler son trigon, c'est-à-dire la somme des entiers de 1 à n.

Ensuite, je réduis le résultat, s'il est supérieur à 1 000, par milliers. Exemple : 1 560 => 1 + 560 ; 45 783 => 45 + 783.

Avec le nombre obtenu, je calcule à nouveau son trigon, et ainsi de suite.

Le calcul n'est pas infini, car chaque nombre semble faire partie de l'un des 8 cycles.

J'aimerais comprendre pourquoi, et mes maigres connaissances mathématiques datent d'il y une vingtaine d'années...

Le détail, avec les scripts de calcul, est exposé sur cette page.

Merci par avance pour vos éclairages !

Mathias

[sologne]

Bonjour,

J'ai calculé la première valeur pour tout les entiers de 1 à 3000, et je me suis rendu compte que 1999 est un point fixe. En effet :
1999 => 1+2+3+....+1999 = 1999000 > 1000 et 1999000/1000 = 1999. On a un point fixe donc plus de cycle possible...
Par ailleurs pour tout n>1999, la suite est divergente et non cyclique.

[NoVGAcable]

Bonjour,

J'ai calculé la première valeur pour tout les entiers de 1 à 3000, et je me suis rendu compte que 1999 est un point fixe. En effet :
1999 => 1+2+3+....+1999 = 1999000 > 1000 et 1999000/1000 = 1999. On a un point fixe donc plus de cycle possible...
Par ailleurs pour tout n>1999, la suite est divergente et non cyclique.

J'ai fait la même erreur au départ, 1 999 000 devient 1 + 999 + 000 = 1000
Edit : C'est en tous cas ce que laissent penser les exemples de ton lien, la formule avec le modulo 999 n'est pas celle qui correspond à cette suite par contre..

Mon intuition : Je ne suis pas surpris qu'il y a seulement un nombre fini de cycles car, pour une valeur courante suffisamment grande, un coup cette valeur augmente un peu (de l'ordre d'une mise au carré) et un coup elle diminue énormément (de l'ordre d'une mise au log base 1000 puis multiplication par un nombre de l'ordre de 1000). Par conséquent, si on s'intéresse à la sous suite des termes pairs (ou impairs) de ta suite, il existe un certain k tel que quand on est en dessous on y reste et quand on est au dessus on décroit et donc on finit par se retrouver en dessous. Donc forcément, puisqu'il n'y a que k entiers inférieurs à k, par le principe de Dirichlet tu vas tomber dans des cycles, il y en a au plus k. Par contre, comment cela se fait qu'il y en ait 8 et pas 36, aucune idée !

[cyberlp]

Edit : C'est en tous cas ce que laissent penser les exemples de ton lien, la formule avec le modulo 999 n'est pas celle qui correspond à cette suite par contre..

Peut-être y a-t-il une erreur sur la page ?

En tout cas il est clair que cela reste cyclique quel que soit n.

Comme il a été dit sur un autre forum :
- T'(n) est forcément compris entre 1 et 999.
- Les nombres entre 1 et 499 couvrent toutes les suites des images itérées (puisque T'(n) = T'(998-n).

Il aussi été dit :

Les racines de 1 (telles que n²=1 modulo 999) sont 1, 998, 593 et 406. Il n'y en a que quatre, car 999=27.37, et modulo 37, 2 racines de 1, et modulo 27 aussi

593 = 2.297 -1, et T(297)=297

Plus généralement, si (2n-1)²=1, on a 4n²-4n=0, et donc n²=n (4 est inversible), et (n²+n)/2=n

Les quatre racines de 1 donnent les quatre points fixes. 2.1-1 = 1, 2.0-1= -1, 2.297-1=593 et 2.703-1 = 406

Si (2a-1)²=1, alors 2T(-(2a-1)n - a) = (2a-1)²n²+2a(2a-1)n+a²-(2a-1)n-a = n²+n

On a donc les symétries suivantes

pour a=0, T(n)=T(n)

pour a =1, T(-n-1)=T(n) [T(998-n)=T(n), déjà indiqué]

pour a=294, T(406n-297)=T(n)

et pour a=703, T(593n-703)=T(n)

Et pour le coup, j'aurais besoin d'un éclairage là-dessus

[NoVGAcable]

- T'(n) est forcément compris entre 1 et 999.

Je crois qu'on ne parle pas de la même chose, regarde le 3ème exemple du deuxième point du grand 1 du lien :

T(n) = 1000405 => T'(n) = 1 + 000 + 405 = 406

Il n'y a pas de modulo à proprement parler et donc pas de raison qu'on soit en dessous de 999. J'ai déjà donné le contre exemple de 1 999 000 d'ailleurs.

[cyberlp]

Il n'y a pas de modulo à proprement parler et donc pas de raison qu'on soit en dessous de 999. J'ai déjà donné le contre exemple de 1 999 000 d'ailleurs.

C'est une erreur de ma part, il s'agit bien de la formule avec modulo, de telle façon que mod(1999000,999)=1.

Ce qui me semblerait intéressant, mais difficile à démontrer, est la définition des cycles (leur nombre, etc.) en fonction du modulo.

[NoVGAcable]

Ce qui me semblerait intéressant, mais difficile à démontrer, est la définition des cycles (leur nombre, etc.) en fonction du modulo.

À mon avis c'est assez proche de quelque chose de pseudo aléatoire donc tu auras du mal à trouver une formule simple. Pour le nombre de cycles, je pense à une loi à laquelle on pourrait arriver en partant de N (999 ici) classes d'équivalences et où on tire des couples d'entiers de [1;N] et on fusionne les classes tant qu'il y a plus d'un entier qui n'a jamais été tiré. À la fin, on compte le nombre de classes. Je n'ai aucune idée de comment s'appelle cette lois mais, à mon avis, on ne doit pas en être très loin avec ton algorithme. Il faudrait faire des programmes pour tester.