Discussion :

[momy2014]

bonjour, je veux traiter un un exercice corrigé sur LATEX sous forme de slides mais j'ai utilisé un Template déjà exécutable .
le code que j'ai écrit est plein d'erreurs qui peut m'aider c'est urgent
merci d'avance .

[-Nikopol-]

???
Faut qu'on devine?
Poster un ECM

[momy2014]

quoi un ECM svp ??

voilà un exemple des erreurs que j'ai rencontré fréquemment !

[-Nikopol-]

ECM
C'est le code qu'il faut.
Il y a au moins un problème d'encodage.

[momy2014]

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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	{Ã }{{\`a}}1
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\def\newblock{}
\setlength{\unitlength}{2mm}
\date{février 2014}
\author{Mohamed Echeikh}
 
\newcommand{\backupbegin}{
   \newcounter{framenumberappendix}
   \setcounter{framenumberappendix}{\value{framenumber}}
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\newcommand{\backupend}{
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   \addtocounter{framenumber}{\value{framenumberappendix}}
}
 
 
 
 
\title{La file M/M/C/C/N }
 
\AtBeginSection[]{
   \begin{frame}
\begin{block}{}
   %%% affiche en début de chaque section, les noms de sections et
   %%% noms de sous-sections de la section en cours.
   \tableofcontents[currentsection,hideothersubsections]
\end{block}
   \end{frame}
}
 
 
    \setbeamertemplate{caption}[numbered]
\addtobeamertemplate{footline}{\insertframenumber/\inserttotalframenumber}
 
 
\begin{document}
\section{\`Enoncé de l'exercice }
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}{ \'Enoncé:}
 
	Dans le modèele d'un lien du réseau téléphonique par une file M/M/C/C/, on suppose que le nombre d'utilisateurs potentiels du lien est fini.  Si cette hypothèese est raisonnable dans le coeur du réseau , elle peut se révéler un peu forte dans la partie d'accès(commutateurs d'accès,cellule d'un réseau GSM\dots).l'objectif de cet exercice est d'étudier les performances d'un lien dans le cas o\`u le nombre d'utilisateurs pouvant \^etre joints par ce lien est limité \`{a} N;(taille de la population N, $ C\ll N $.)
 
on modélise alors le lien de la fa\c con suivante:
 
 
	\end{block}
 
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}{$\longrightarrow$}
La deuxième file correspond au lien. Un client dans cette file correspond \`a un appel téléphonique en cours.
la premi\`ere file correspond aux abonnés qui ne sont pas en communication.
Le temps de réflexion (temps passé dans la file 1) avant une tentative d'appel est supposé exponentiel de taux $\lambda$ .
La durée de la communication est supposé exponentielle de taux ($\mu $ ).
Quand un appel arrive ( en provenance ou \`{a} destination d'un abonné qui n'est pas encore en communication ), il est accepté s'il reste de la place dans la deuxième file ou rejeté (on suppose alors que l'utilisateur repasse dans la file 1 ,on ne tient pas compte de son impatience potentielle).
On veut déterminer la probabilité de rejet d'appel.
 
\end{block}
  \begin{enumerate}
    \item 1-Soit $N_{t}$ le nombre d'appels en cours à l'instant t.
    Montrer que ($N_{t}, t\in \Re $) est un processus markovien ergodique.
 
    \item 2- Déterminer les probabilités en régime stationnaire.
 
 
    \item 3-On veut déterminer la probabilité de rejet . Pour cela le flux offert au lien (débit au point A:$\Lambda_{A}$) et le débit rejeté (débit au point B :$ \Lambda_{B} $).
        En déduire la probabilité de rejet.Que constate-t-on ?
 
  \end{enumerate}
 
 
\end{frame}
\section{ Réponse de l'exercice:}
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}{réponse question 1:}
		$\textit{Premi\`ere méthode}$
$\textrm{Arrivées}$
Supposons que $N(t)=k$, avec $ k\in[0\dots C]$.Le nombre de client en dans la première file donc :
(N-K).il y a exactement i arrivées (i tel que k+i$\leq C$ puisque le nombre de clients pouvants \^etre servi est limité par C et i$\leq$ N-k $ puisque le nombre de clients dans la premi\`ere file est N-k ) dans la seconde file pendant dt si il y a i fins de service exponentiels de paramètre $\lambda$ dans la premièere file et N-k clients qui ne finissent pas leur service :
\begin{equation}\label{equation 1.1}
 
 $\vee$ i $\in$[1,C-k] $P[N(t+dt)=k+i/N(t)=k]=C^{i_{N-k}}$ ($\lambda$ dt +$o(dt)^{i}$ (1-$\lambda$ dt + $o(dt))^{N-k-i} $
 
\end{equation}
Nous en concluons que:
\begin{equation}\label{equation1.2}
    P[N(t+dt)=k+1/N(t)=k]= (N-k)$\lambda$ dt +o(dt)
    $\vee$ i $\in$[2,C-k] P[N(t+dt)=k+i/N(t)=k]= o(dt)
\end{equation}
La connaissance de N(t)=n permet de prévoir les arrivées entre t et t+dt.
Un seul client peut arriver pendant dt et il arrive avec le taux (N-n)$\lambda.$
	\end{block}
\end{frame}
 
\begin{frame}[fragile]
	\begin{bloc}
\textrm{Départs}\
	Supposons que N(t)=k, avec k$\in[0\dots C]$.il y a exactement i départ( i tel que i$\leq$ k puisque le nombre de clients dans la seconde file est k) si il ya i fins de service exponentiels de paramètre $\mu$ et k-i qui ne finissent pas leur service:
 	
		\begin{equation}\label{equation1.3}
	$\vee$ i $\in$[0,k] P[N(t+dt)=k-i/N(t)=k]=C^{i_{N-k}} ($\mu$ dt +o(dt)^{i} (1-$\mu$ dt + $o(dt))^{k-i}$
		\end{equation}
Nous en concluons que:
 
 
\begin{equation}\label{equation1.4}
     P[N(t+dt)=k-1/N(t)=k]= k$\mu$ dt +o(dt)
    $\vee$ i $\in$[1,k] P[N(t+dt)=k-i/N(t)=k]= o(dt)
\end{equation}
la connaissance de N(t)=n permet donc de prévoir entre t et t+dt .
Un seul client peut partir pendant dt et il part avec le taux n*$\mu$.
	\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}
		\textit{Deuxième méthode}
\textrm{Arrivées}\
	Supposons que N(t)=k, avec k$\in$[0\dots ].Nous savons qu'il ne peut y avoir qu'un seul départ entre t et t+dt de la première file de service exponentiel de paramètre $\lambda$ ( il pourrait y avoir deux départs, mais avec une probabilité en $dt^{2}$ infiniment petite par rapport $\`{a}$ la probabilit pour qu'il y en est un qui est en dt). Nous savons de plus que ce d$\'{e}$part suit la loi de l'inf du temps résiduel des N-k services exponentiels .
il a été démontré que la loi inf de p lois exponentiels de paramètre $\lambda_{i}$ est une loi exponentielle de paramètre la somme des $ \lambda_{i}$.Ici nous avons N-k services exponentielles de paramètre $\lambda$ d'o$\`{u}$:
\begin{equation}\label{equation 1.5}
    $ P[N(t+dt)=k+1/N(t)=k]= (N-k)$\lambda$ dt +o(dt)$
\end{equation}	
	\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\begin{block}
\textrm{Départs}\$
Supposons que N(t)=k, avec k$\in$[0\dots C].nous savons qu'il ne peut y avoir qu'un seul depart de la seconde file entre t et t+dt .Ce départ se fait selon la loi de l'inf des k lois résiduelles des clients en service, d'o\`u:
\begin{equation}\label{equation 1.6}
   $ P[N(t+dt)=k-1/N(t)=k]= k\mu dt +o(dt)$
\end{equation}
		$\Longrightarrow $: le processus N(t) est Markovien . De plus , c'est un processus de naissance et de mort \`{a} C+1 états o\`{u}:
$\vee n \in[0,C-1] \lambda(n) = (N-n)\lambda
\vee n \in[1,C] \mu(n) = (N-n)\mu $
		la chaine de Markov cmporte un nombre fini d'ètats et est fortement connexe .le processus est donc ergidique .
 
	\end{block}
\end{frame}
 
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}{Réponse de la question 2.}
N(t) étant un processus de naissance et de mort , nous avons :
		\begin{equation} label{equation 2.1}
			$\bigvee n \in [0.C] \Pi(n)=\frac{\lambda(0) \dots \lambda(n-1)}{\mu(1) \dots \mu(n)} =\frac{N!}{(N-n)!n!}*\frac{\lambda}{\mu}^{n}\Pi(0)$
		\end{equation}
Ce qui peut s'écrire , en posant $\rho=\frac{\lambda}{\mu}$ :
\bigvee n \in [0.C] $\Pi(n)=C^{n_{N}} \rho^{n}\Pi(0)$
Nous déterminons alors les probabilités stationnaires , apr\`{e}s avoir utilisé la condition de normalisation:
\begin{equation}\label{equation 2.2}
    \bigvee n \in [0.C] \Pi(n)=\frac{C^{n_{N}}*\rho^{n}}{\sum^{n_{i=1}} C^{i_{N}}*\rho^{i}}
\end{equation}
	\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
	\begin{block}{Réponse de la question 3.}
nous pouvons pas appliquer la propriété ici. il srait faux d'écrire que la probabilité de rejet est celle d'avoir C clients dans la file , comme nous allons le montrer.
Notons:
 
 \begin{equation}\label{equation 3.2}
    Pi_{N}(C)=\frac{C^{c}_{N} \rho^{c}}{\sum^{c}_{i=0}C^{i}_{N}\rho^{i}}
\end{equation}
Avec:  Pi_{N}(C)la probabilité que C seveurs soient occupés lorsqu'il y a N clients dans le réseau:
\end{block}
\begin{block}{Calcul probabilité de rejet}
\textit{le débit au point A est :}
\begin{equation}\label{equation 3.3}
 
    \Lambda_{A}= \sum^{c_{k=0}(N-k) \lambda*\Pi(k}= \sum^{c_{k=0}(N-k) \lambda*\Pi(0) C^{k}_{N}*\rho^{k}}
 
\end{equation}
calcul de probabilité de rejet P(rejet) en utilisant soit le débit au point A et celui au point E ou entre le point A et B.
\textit{le débit au point E est :}\
\begin{equation}\label{equation 3.4}
    $\Lambda_{E}$= $\sum^{c}_{k=0}$(k$\mu$ $\Pi$(k)= $\sum^{c}_{k=1}$(k$\mu$ $\Pi$(k)=$\sum^{c}_{k=0}$(k$\mu$ $\Pi$(0)$\rho^{k} \frac{N!}{(n-k)!k!}$=\dots = $\sum^{c}_{k=1}$($\lambda$ (N-(k-1))$\Pi(k-1)$=$\sum^{c-1}_{k=0} $$\Pi(k)$\lambda (N-k)$$
 
\end{equation}
  la probabilité de rejet est égale $\`a$: $$ 1-\frac{\Lambda_{E}}{\Lambda_{A}}$$
  \begin{equation}\label{equation 3.5}
    $$P(rejet)= \frac{(N-c)$\lambda$ \Pi(c)}{\sum^{c}_{k=0}(N-c) $\lambda$ $\Pi$(k)}$$
  \end{equation}
  En simplifiant cette équation :
   \begin{equation}\label{equation 3.6}
   $$ P(rejet)=\Pi_{N-1}(c)$$
   \end{equation}
   \end{block}
  \end{frame}
 
\section{CONCLUSION}
 
\begin{frame}[fragile]
\begin{block}{ conclusion }
Dans cet exercice , la propriété PASTA ne s'applique pas. on observe que la probabilité de rejet est  égale \`a la probabilité que l'on aurait eu  d'avoir C serveurs occupés si il y avait en N-1 clients et non N.
EN réalité  n'est pas le seul fruit du hazard .il s'agit en fait de l'application particuliére \`{a} ce problme d'un théorème connu sous le nom $\textbf{Sevicik Mitrani:
Lorsqu'un client entre dans une file dans un réseau BCMP il voit cette file  dans un état qui est en moyenne l'état de la file dans le m\^eme réseau mais avec un client de moins au total dans le réseau fermé.}$
\endgroup.
\end{block}
\end{frame}
\end{document}
\endgroup

[-Nikopol-]

Le M de ECM veut dire minimal!!!
ca ressemble à un document encodé dans un encodage différent de celui de l'éditeur.
A part cela, quels sont les problèmes rencontrés?