Discussion :

[Matt2094]

Bonjour à tous,

Voici mon problème : je connais 3 points (en 2D), ainsi que leur éloignement (en 3D). Avec ces informations, je voudrais calculer l'éloignement d'un 4e point en donnant la position en 2D.

Merci d'avance.


P.S : si le titre n'est pas explicite, changez-le.

[ToTo13]

Bonjour,

ce qui n'est pas très explicite non plus c'est exactement ce que tu veux faire.

Quel est le lien exacte entre tes trois premiers points et le quatrième. S'il n'y a pas de lien, la profondeur peut être quelconque.

[larnicebafteur]

Je pense avoir compris le problème, mais il n'est pas très bien formulé.

Ainsi, les 3 premiers points définissent un plan dans l'espace (par 3 points distincts, il passe un seul plan). Les coordonnées 2D sont les coordonnées de ces 3 points projetés sur un plan, et "l'éloignement" est la distance entre un point et ce plan de projection.

Ainsi, si on donne les coordonnées 2D d'un 4ème point dans ce plan de projection, on désire savoir ou il se trouve dans l'espace sur le plan défini par les 3 points.

C'est bien ça ??

Dans ce cas, plusieurs solutions.

1) On peut determiner l'équation cartesienne du plan (de la forme ax+by+cz+d=0) à l'aide des coordonnées 3D des 3 points. (ou un système d'équation paramètrique, pourquoi pas). Ensuite, connaissant 2 des coordonnées du 4ème point, on trouvera aisément sa 3ème coordonnée.

2) On peut aussi choisir de faire une interpolation en 3D (fonctions d'interpolation géométrique, ca doit se trouver sur internet, en relation avec les elements finis par exemple ...)

[Matt2094]

Je vais essayer de m'éxpliquer plus clairement :

Je donne les coordonnées X,Y (résultats de calculs 3D) de A,B et C ainsi que leur éloignement (de la caméra). Je donne aussi les coordonnées X,Y d'un 4e point se trouvant sur le triangle, et je veux trouver son éloignement de la caméra sans être obligé de trouver les coordonnées X,Y,Z de ce 4e point.

[larnicebafteur]

OK, c'est bien plus clair.

Et cela peut se résoudre par ce que j'ai indiqué.
Il suffit de considerer l'éloignement comme une 3ème coordonnée (appelons là Z, ça ne change rien). Ensuite, on determine l'équation cartésienne de ce plan (aX+bY+cZ+d=0).
Et enfin, connaissant X et Y pour le 4ème point, on trouvera facilement son éloignement Z !

Si vous voulez quelques détails sur la determination cartesienne du plan, je peux aussi donner une méthode, il suffit de demander ...

[Matt2094]

En fait, je suis encore qu'au collège, donc je ne sais pas trop ce que c'est une équation cartésienne ...

[ToTo13]

Bonjour,

si tu es au collège, cela va être plus compliqué.
Il faudra que tu te mette à niveau en math sur ce problème.

[larnicebafteur]

Ah, en effet, ca explique que ce que je raconte soit du chinois !!

Etant prof de maths, je comprends le fossé qu'il existe entre tes connaissances actuelles et ce que tu demandes.

Tout d'abord, quelle classe de collège ?

Sinon, en 3ème (et déjà un peu en 4ème), on voit les équations de droites (en relation avec les fonctions linéaires et affines). Par exemple, la relation y=2x+3 est une relation entre les X et Y, et cela se traduit graphiquement dans un repère par une droite (c'est donc une équation qu'on appelle "cartesienne" de droite).

Pour les équations de plan, c'est un peu pareil, mais on voit ça seulement en 1ère S, donc ce n'est pas pour tout de suite.

Bon, je vais essayer de te donner les formules avec un petit exemple pour voir si ca marche, le temps que je m'y mette.

Au passage, c'est un bon argument pour expliquer que les maths, ça sert à quelque chose !!

[Matt2094]

Je suis en 5e ...

Si j'ai bien compris, une équation cartésienne, c'est une équation qui représente une droite ?

Au passage, c'est un bon argument pour expliquer que les maths, ça sert à quelque chose !!

C'est vrai, je suis d'accord, mais je peux pas passer toutes mes journées à faire des maths ...

[larnicebafteur]

Pour un eleve de 5ème, l'orthographe et le style sont drolement bons !!!
Meme mes terminales ne feraient pas si bien ...
Bizarre !!

[larnicebafteur]

[FONT=Times New Roman]Voici la méthode avec un exemple à la fin.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Peu importe les commentaires si tu ne les comprends pas, il suffit d'appliquer les 4 formules pour trouver la réponse.[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Notations :[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Les 3 points connus : A, B, C[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Le point dont on veut connaître l'éloignement : D[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Les coordonnées 2D de ces points : x et y[/FONT]
[FONT=Times New Roman]L'éloignement de ces points : z[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Les coordonnées des 4 points est donc :[/FONT]
[FONT=Times New Roman]A(x1;y1;z1) B(x2;y2;z2) C(x3;y3;z3) D(x4;y4;z4)[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dans un premier temps, calcul des coordonnées du vecteur normal au plan ABC (par produit vectoriel) :[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]xn=(y2-y1)*(z3-z1) - (y3-y1)*(z2-z1)[/FONT]
[FONT=Times New Roman]yn=(x3-x1)*(z2-z1) - (x2-x1)*(z3-z1)[/FONT]
[FONT=Times New Roman]zn=(x2-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y2-y1)[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]A partir des coordonnées du vecteur normal et des coordonnées d'un vecteur AM du plan ABC, par produit scalaire, on obtient l'équation cartesienne du plan.[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Connaissant x4 et y4, on trouve z4 :[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]z4 = (x1*xn + y1*yn + z1*zn – x4*xn – y4*yn) / zn[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Exemple : A(2;3;10) B(4;6;8) C(5;1;3) D(3;3;Z4)[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]On trouve :[/FONT]
[FONT=Times New Roman]xn= -25 yn=8 zn= -13[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Puis l'éloignement du point 4 : Z4 = 105/13 = 8,08...[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]

[larnicebafteur]

Voilà, ce sera mieux ...

Voici la méthode avec un exemple à la fin.
Peu importe les commentaires si tu ne les comprends pas, il suffit d'appliquer les 4 formules pour trouver la réponse.

Notations :
Les 3 points connus : A, B, C
Le point dont on veut connaître l'éloignement : D
Les coordonnées 2D de ces points : x et y
L'éloignement de ces points : z

Les coordonnées des 4 points est donc :
A(x1;y1;z1) B(x2;y2;z2) C(x3;y3;z3) D(x4;y4;z4)

Dans un premier temps, calcul des coordonnées du vecteur normal au plan ABC (par produit vectoriel) :

xn=(y2-y1)*(z3-z1) - (y3-y1)*(z2-z1)
yn=(x3-x1)*(z2-z1) - (x2-x1)*(z3-z1)
zn=(x2-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y2-y1)

A partir des coordonnées du vecteur normal et des coordonnées d'un vecteur AM du plan ABC, par produit scalaire, on obtient l'équation cartesienne du plan.
Connaissant x4 et y4, on trouve z4 :

z4 = (x1*xn + y1*yn + z1*zn – x4*xn – y4*yn) / zn

Exemple : A(2;3;10) B(4;6;8) C(5;1;3) D(3;3;Z4)
On trouve :
xn= -25 yn=8 zn= -13
Puis l'éloignement du point 4 : Z4 = 105/13 = 8,08...

[Matt2094]

Merci !