Discussion :

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

j'utilise depuis un moment les méthodes de runge kutta et j'ai trouvé plein de documentation sur les méthodes RK45 ou RK21 à pas adaptatif.

je trouve très bien ces schémas adaptatifs mais j'aimerai utiliser pour un de mes problèmes un schéma adaptatif implicite.
J'ai cherché sur le net et je trouve beaucoup moins d'informations que pour les schémas explicite adaptatif.

sauriez vous comment en programmer une ?

Moi j'ai pensé à ceci :
1°) faire une itération à l'aide d'une méthode Euler implicite
2°) faire une itération à l'aide de la méthode midpoint implicite
3°) estimer l'erreur de commise et choisir un pas de temps qui minimise ceci.
4°) faire l'itération de midpoint avec le pas de temps choisi précédemment.

je pense que ce genre de démarche doit fonctionner mais je n'ai rien trouvé de tel sur le net alors que ça me parait très simple...
es ce qu'il y a une difficulté qui m'échappe ?
es ce que genre de méthode ça ne fonctionne pas en réalité et ce qui expliquerai que ce n'est pas beaucoup utilisé ?

merci pour votre aide/conseils

[Aleph69]

Salut,

Tu ne peux pas estimer l'erreur d'approximation en comparant deux solutions numériques. Si les deux sont fausses mais identiques, qu'en déduis-tu?

[membreComplexe12]

salut et merci d'avoir pris le temps de répondre

pourtant c'est bien ce que font les méthodes de type runge kutta explicite à pas adaptatif (cf. ode45 matlab)

il y a une itération qui est fait avec un schéma ordre 5, une itération avec une schéma d'ordre 4 et la différence entre les deux schémas et supérieur à une certaine erreur alors on réduit le pas de calcul.

je pensais faire la même chose en implicite mais je suis étonné que ça existe en explicite et que c'est très courant alors qu'en implicite on ne trouve pas grand chose

[Ehouarn]

Bonjour,

Je dirais que la raison essentielle pour ne pas faire de pas adaptatif en implicite est le coût. Sauf cas très particulier la résolution du système implicite est très lourde ( comparativement à la résolution d'un système explicite) et on se retrouverai à faire deux fois le travail à chaque pas. Or si on cherche à avoir un pas adaptatif, c'est surtout dans un souci d'optimiser la résolution pour la rendre la plus rapide possible.

Bonne continuation.

[membreComplexe12]

ah OK je comprends.

en fait mon envie de faire de l'implicite adaptatif vient du fait que parfois les schémas explicites sont non stables donc si je veux simuler un phénomène "long" il faut que je fasse de l'implicite.

en implicite "classique" on a un pas de temps fixe du coup ça peut demander beaucoup d'itérations alors que si j'ai un système petit à inverser je me dis que ça coute peut etre pas plus cher d'inverse deux fois une matrice petite que de le faire une fois mais sur plus de pas de temps...

en tout cas ça semble donc exister un schéma implicite adaptatif tel que je le disais plus haut? car je n'ai pas trouvé sur le net (j'ai trouvé d'autres choses mais pas un tel que je le disais plus faut....)

[Ehouarn]

Bonjour,

en implicite "classique" on a un pas de temps fixe du coup ça peut demander beaucoup d'itérations alors que si j'ai un système petit à inverser je me dis que ça coute peut etre pas plus cher d'inverse deux fois une matrice petite que de le faire une fois mais sur plus de pas de temps...

Ca dépend vraiment de la forme de(s) équation(s) différentielle(s) à résoudre; en particulier si on est dans un cas linéaire (il est bien moins trivial de résoudre un cas non-linéaire en implicite qu'en explicite!) ou pas, avec coefficients constants (on peut alors préparer les opérateurs, voir leurs inverses une fois pour toute en début de résolution) ou pas, etc.

[membreComplexe12]

merci pour ton aide.
A bientôt