Discussion :

[mathieu_t]

Bonjour,

Je cherche à savoir si un calcul que je fais est invariant par translation...

Explications : prenons un contour fermé, qu'on nomme A, quelconque. Appliquons lui une transformation, quelconque (pour le moment), ce qui nous donne le contour B.

Par exemple dans le cas d'une translation :

Je connais tous les vecteurs qui lient les points de A aux points de B (cad les points image de A par la transformation appliquée).
Voici mon calcul : je somme les valeurs scalaires des vecteurs ( un vecteur est positif s'il est orienté vers l'intérieur de A, négatif sinon).
En version analytique, la somme que je fais des vecteurs est

où m est le vecteur de déplacement à l'abscisse curviligne s, N est le vecteur normal (toujours orienté vers l'intérieur du contour).
En gros cela peut s'apparenter au calcul approximatif du mouvement global de mon contour.

Question : est-ce que cela donne 0 si ma transformation est une translation ?
cad, si pour tout s, m(s) = t, où t est constant, est-ce que cette intégrale est nulle ?

J'aurais tendance à dire que non à cause de m... Mais je vois pas comment le prouver...

Bon je sais pas si ce que j'ai demandé est clair, mais je sais qu'ici il ya plein de supers matheux qui peut-être auront la solution...

Merci,

Mathieu.

[j.p.mignot]

Précision:
Les courbes sont-elles planes?
Si non comment est défini N?. La tangente pas de problème. la normale si la courbe est planaire peut être définie comme normale à la tangente dans le plan de la courbe mais si A ( resp. B )est non planaire (plan local?)?

[j.p.mignot]

Sauf errure de ma part SI A est planaire, cela donne 0.

Si A est planaire on défini xOy comme son plan. Si. de plus A est continu et dérivable alors en chaque point de A on peut définir un vecteur tangent p(x,y) et un vecteur normal N(x,y) de normes 1.
On cherche à calculer S = Somme ( t . N ds ) { . pour produit scalaire } t translation
N = p ^ k { ^ pour produit vectoriel } k vecteur normal à xOy

S = Somme ( t . N ds ) =>
S = Somme ( t . (p^k) ds ) = Somme ( k . (t^p) ds ) = k . Somme(t^p ds)

p ds = dx i + dy j
si t = tx i + ty j + tz k. tx ty et tz sont constants pour une translation.
alors
S= k . Somme ( i (-tz*dy) + j(dxtz) + k*(txdy-tydx) =
Somme (txdy-tydx)=
tx Somme(dy) - ty Somme(dx) comme Somme(dx)=Somme(dy)=0 sur un contour fermé on a
S=0

[Matthieu Brucher]

pfff... tout ça parce que je n'étais pas au labo aujourd'hui...

Sinon, je pense fortement que ça donne 0 aussi.

[DrTopos]

Bonjour à tous.

On peut d'abord remarquer que si le vecteur t est constant, on a (où \int_C est l'intégrale curviligne le long de la courbe C):

Code :

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1
2
 
\int_C t.N(s) ds = t.(\int_C N(s) ds)

car l'application x |-> t.x est une forme linéaire continue. On est donc ramené à prouver que

Code :

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1
2
 
\int_C N(s) ds = 0

Supposons la courbe C plane (plongée dans R^2) et suffisamment différentiable.
Soit f:R -> C un paramétrage (périodique par exemple) de la courbe C, dont le vecteur vitesse est tout le temps non nul. Considérons l'application G de ]-e,+e[xR dans R^2 définie par (où e (epsilon) est un réel petit strictement positif):

Code :

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1
2
 
(x,y) |-> f(y) + xN(y)

Cette application a une dérivée (qui pour chaque (x,y) est une application linéaire de R^2 vers R^2) bijective en chaque (0,y). En effet, les vecteurs de la base canonique de R^2 sont envoyés sur le vecteur vitesse et sur le vecteur normal.

Il en résulte (théorème d'inversion locale) que G est un difféomorphisme local en chaque point de la forme (0,y). Un argument de compacité montre facilement qu'il existe une valeur de e pour laquelle f est alors un difféomorphisme en tout point de ]-e,+e[xR. Son image est ce qu'on appelle un 'voisinage tubulaire' de C.

Considérons l'application h:]-e,+e[xR -> R définie par (x,y) |-> x et composons la avec la fonction réciproque de G. On obtient ainsi un potentiel p sur le voisinage tubulaire de C, dont le gradient en tout point de la forme G(0,y) est manifestement N(y). Il en résulte que:

Code :

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1
2
 
\int_C N(s) ds = \int_C grad(p)(s) ds = 0

car l'intégrale du gradient d'un potentiel sur un circuit fermé est nul (lemme de Poincaré).
[edit]
Ce dernier argument est érronné. Voir mon prochain post.
[/edit]

[j.p.mignot]

DrTopos indique

Un argument de compacité montre facilement qu'il existe une valeur de e pour laquelle f est alors un difféomorphisme

Pouriez-vous expliciter? mes cours de math sont déjà bien loin!


Par ailleurs, tout comme pour mon petit calcul vectoriel, je n'ai pas vu que votre approche incluait les courbes non planaires. J'avais aussi l'impression qu'il était possible de définir un champ scalaire dont l'intégralle proposée était l'intégralle du gradient mais en 3D je n'ai pas réussi à le formuler.

Juste pour ma curiosité je vous serais reconnaissant si vous avez quelques comments.

Merci!

[DrTopos]

Voici l'argument de compacité en question.

On suppose la courbe fermée, c'est-à-dire qu'elle peut être paramétrée sur toute sa longueur par un paramètre parcourant un intevalle [a,b] fermé borné (donc compact) de R. Si on a un paramétrage périodique, il suffit que l'intervalle en question couvre au moins une période.

On considère alors l'application (x,y) |-> f(x) + xN(y). Comme je l'ai indiqué, elle est localement inversible en tout point de la forme (0,y). On a donc pour chaque y, un voisinage de (0,y) dans le produit cartésien ]-e,+e[x[a,b], sur lequel cette fonction est inversible. Quitte à réduire ce voisinage, on peut supposer que c'est un pavé, c'est-à-dire de la forme ]-g,+g[xV, où g est plus petit que e, et V un voisinage de y dans [a,b].

Dans l'espace ]-e,+e[x[a,b], on a donc recouvert le sous-ensemble {0}x[a,b] par une famille d'ouverts (les pavés ci-dessus, un pour chaque y). Comme ce sous-ensemble est compact (car homéomorphe à [a,b]), le théorème de Borel-Lebesgue, nous dit qu'un nombre fini de ces pavés suffisent à recouvrir ce sous-ensemble.

On a donc recouvert {0}x[a,b] par la famille finie de pavés: ]-g_i,+g_i[xV_i (où i varie dans l'ensemble fini I). Comme tous les g_i sont strictement positifs et en nombre fini, leur borne inférieure g est elle-même strictement positive. On voit alors que la restriction de notre fonction à ]-g,+g[x[a,b] est un difféomorphisme.

Par ailleurs, dans le cas d'une courbe non planaire (disons dans R^3), le sous-espace normal à la courbe en un point est de dimension 2 (au lieu de 1 dans le cas précédent). Dans ce cas, il faudrait savoir ce qu'on entend par vecteur normal. Le choix est plus large que simplement intérieur/extérieur. En fait le choix (en supposant toujours le vecteur normal de norme 1) se situe dans un cercle, au lieu d'un ensemble à deux éléments. Malgré cela, la même construction est possible. Il suffit de complèter ce vecteur normal par un deuxième vecteur normal (par exemple en faisant le produit vectoriel du premier vecteur normal et du normalisé du vecteur vitesse). On peut alors construire le voisinage tubulaire, et une fonction dont le premier vecteur normal sera le gradient. C'est essentiellement la même méthode.

Ceci dit, je m'aperçois que j'ai fait une énorme bourde tout-à-l'heure. Ce n'est pas l'intégrale du gradient d'un potentiel le long d'une courbe fermée qui est nul, mais l'intégrale de la circulation de ce gradient. Ceci remet en question la conclusion. Je vais y réfléchir à nouveau, avant le prochain post.

[DrTopos]

Bon, je reviens donc sur ce problème. Il y a une solution simple dans le cas d'une courbe fermé plane (donc avec vecteur normal tourné vers l'intérieur par exemple). On suppose que la courbe est plongée dans R^2 (elle ne se recoupe pas elle-même).

D'abord une petite mise au point sur les intégrales curvilignes. On considère une courbe C paramétrée par une fonction différentiable f de [a,b] vers R^2. Soit par ailleurs une fonction G définie sur C. L'intégrale curviligne:

Code :

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\int_C G(s) ds

est par définition l'intégrale simple:

Code :

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2

\int_a^b G(f(t)) |f'(t)| dt

Il est facile de montrer que cette intégrale ne dépend pas du paramétrage. En effet, changeons de paramétrage en prenant une fonction différentiable phi:[c,d] -> [a,b] croissante et bijective. le composé f o phi est un nouveau paramétrage de la même courbe. On a:

Code :

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3
4

\int_c^d G(f(phi(u))) |(f o phi)'(u)| du = 
\int_c^d G(f(phi(u))) |f'(phi(u)) phi'(u)| du =
\int_a^b G(f(t)) |f'(t)| dt

puisque phi'(u) est positif et phi'(u)du = dt (changement de variable dans une intégrale simple).

Ceci étant dit, paramétrons la courbe par une fonction f:[a,b] -> R^2, de telle façon que le vecteur vitesse soit de norme 1 (autrement-dit parcourons la courbe entre les temps a et b à la vitesse 1). Ce vecteur vitesse au temps t est f'(t). Posons V(s) = f'(t), quand s = f(t). L'intégrale curviligne du vecteur vitesse le long de la courbe entière est donc:

Code :

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\int_C V(s) ds = \int_a^b f'(t) |f'(t)| dt = \int_a^b f'(t) dt = f(b) - f(a) = 0

car la courbe est fermée (f(a) = f(b)).

Maintenant le vecteur normal N(s) se déduit du vecteur vitesse V(s) par une rotation r d'angle pi/2, et cette rotation est indépendante de t. On a donc:

Code :

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\int_C N(s) ds = \int_C r(V(s)) ds = r(\int_C V(s) ds) = r(0) = 0

ce qui démontre ce que voulait Mathieu, car a fortiori on aura:

Code :

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\int_C t.N(s) ds = t.(\int_C N(s) ds) = t.0 = 0

On peut remarquer que cette méthode ne s'étend pas à une courbe dans R^3, et qu'elle est par ailleurs très proche de ce que j.p.mignot avait proposé au début.

[j.p.mignot]

Sans avoir encore une démonstration formelle, il me semble que cette propriété s'étend pour une courbe fermée de R^3 ( dérivable au moins 2 fois pour pouvoir définir un plan tangent et donc définir N)

En effet si on considère ce problème physiquement comme une force normale de module 1N appliquée sur un pourtour, la résultante ne peut dépendre du choix de l'origine. Comme un changement d'origine correspond à une translation, Il en résulte immédiatement que
Somme((N+t).ds){Ca} =
Somme(N.dt){Cb} + Somme(t.ds){Ca}
d'où Somme(t.ds){Ca}=0 = Somme(t.ds)

[ToTo13]

Bonjour,

si :

Je connais tous les vecteurs qui lient les points de A aux points de B

Est ce qu'une simple comparaison entre ces vecteurs ne suffirait elle pas ?
De plus, pour que la transformation soit invariante, cela suppose que TOUS les vecteur soient identiquent. Donc en comparant le premier aux autres, on obtient la réponse....

[mathieu_t]

Bonjour,

Merci pour vos réponses ! En plus j'ai compris

Par contre, jp mignot, pourriez-vous expliciter vos variables car je comprends pas bien...

[mathieu_t]

Bonjour,

si :


Est ce qu'une simple comparaison entre ces vecteurs ne suffirait elle pas ?
De plus, pour que la transformation soit invariante, cela suppose que TOUS les vecteur soient identiquent. Donc en comparant le premier aux autres, on obtient la réponse....

Je comprends pas bien ce que tu entends par "une simple comparaison" ?
De plus, pour une rotation, la transformation ne donne pas des vecteurs tous identiques (après je ne sais pas si le calcul est invariant par rotation)...

[ToTo13]

Effectivement, pour la rotation les vecteurs bougent tous. Mais cela ce voit très facilement parce que le barycentre en bouge pas et les vecteurs entre le barycentre et les points de contours changent tous de la même façon.

[DrTopos]

Sans avoir encore une démonstration formelle, il me semble que cette propriété s'étend pour une courbe fermée de R^3 ( dérivable au moins 2 fois pour pouvoir définir un plan tangent et donc définir N)

Le plan dont tu veux parler est sans doute le plan 'osculateur' (et non pas tangent), ce qui permet de définir la 'normale principale' à la courbe (c'est-à-dire la droite qui porte le vecteur d'accelération normale du point de vue physique, quand on considère la courbe comme une trajectoire).

Il est possible qu'on ait le même résultat dans ce cas. Je ne l'ai pas vérifié.

[DrTopos]

Je suis revenu sur le premier post de ce fil pour essayer de mieux comprendre les intentions de Mathieu. Il me semble qu'il veut mesurer le 'mouvement' d'une courbe, étant entendu qu'une courbe qui glisse sur elle-même ne bouge pas. Ceci justifie évidemment la prise en compte non pas du vecteur t(s) du mouvement réel d'un point de la courbe, mais seulement de la composante qui est orthogonale à la courbe. C'est une façon de ne pas tenir compte du glissement de la courbe sur elle-même.

Dans ce cas, on a à première vue un peu de mal à comprendre pourquoi une courbe qui est translaté sans déformation (c'est-à- dire que la fonction s |-> t(s) est constante) donne un mouvement nul alors que visiblement la courbe c'est déplacée.

Toutefois, en y regardant de plus près, on voit que les parties de la courbe qui bougent vers l'extérieur de la courbe ont un 'mouvement' négatif, alors que celle qui bougent vers l'intérieur ont un 'mouvement' positif. Dans le cas d'une courbe fermée qui est translatée, la partie de la courbe qui est 'devant' a un mouvement négatif qui annulle exactement le mouvement positif de la partie de la courbe qui est 'derrière'.

En fait, il semble bien que ce que mesure l'intégrale de Mathieu est (au signe près) la variation de la surface délimitée par la courbe, ce qu'on pourrait sans doute démontrer facilement en utilisant la formule de Green-Riemann. Evidemment, dans le cas d'une translation cette surface ne change pas, ce qui fait que notre intégrale est nulle.

[mathieu_t]

Oui c'était mon interprétation aussi, bien que je n'étais pas très sûr de moi...

A+

[j.p.mignot]

Le plan dont tu veux parler est sans doute le plan 'osculateur'

Sous le libellé "plan tangent" j'entendais le plan contenant le cercle tangent à la courbe au point considéré. J'ignorais qu'il nommait 'osculateur'.