Discussion :

[mathieu_t]

Bonjour,

Je cherche à savoir si un calcul que je fais est invariant par translation...

Explications : prenons un contour fermé, qu'on nomme A, quelconque. Appliquons lui une transformation, quelconque (pour le moment), ce qui nous donne le contour B.

Par exemple dans le cas d'une translation :

Je connais tous les vecteurs qui lient les points de A aux points de B (cad les points image de A par la transformation appliquée).
Voici mon calcul : je somme les valeurs scalaires des vecteurs ( un vecteur est positif s'il est orienté vers l'intérieur de A, négatif sinon).
En version analytique, la somme que je fais des vecteurs est

où m est le vecteur de déplacement à l'abscisse curviligne s, N est le vecteur normal (toujours orienté vers l'intérieur du contour).
En gros cela peut s'apparenter au calcul approximatif du mouvement global de mon contour.

Question : est-ce que cela donne 0 si ma transformation est une translation ?
cad, si pour tout s, m(s) = t, où t est constant, est-ce que cette intégrale est nulle ?

J'aurais tendance à dire que non à cause de m... Mais je vois pas comment le prouver...

Bon je sais pas si ce que j'ai demandé est clair, mais je sais qu'ici il ya plein de supers matheux qui peut-être auront la solution...

Merci,

Mathieu.

[j.p.mignot]

Précision:
Les courbes sont-elles planes?
Si non comment est défini N?. La tangente pas de problème. la normale si la courbe est planaire peut être définie comme normale à la tangente dans le plan de la courbe mais si A ( resp. B )est non planaire (plan local?)?

[j.p.mignot]

Sauf errure de ma part SI A est planaire, cela donne 0.

Si A est planaire on défini xOy comme son plan. Si. de plus A est continu et dérivable alors en chaque point de A on peut définir un vecteur tangent p(x,y) et un vecteur normal N(x,y) de normes 1.
On cherche à calculer S = Somme ( t . N ds ) { . pour produit scalaire } t translation
N = p ^ k { ^ pour produit vectoriel } k vecteur normal à xOy

S = Somme ( t . N ds ) =>
S = Somme ( t . (p^k) ds ) = Somme ( k . (t^p) ds ) = k . Somme(t^p ds)

p ds = dx i + dy j
si t = tx i + ty j + tz k. tx ty et tz sont constants pour une translation.
alors
S= k . Somme ( i (-tz*dy) + j(dxtz) + k*(txdy-tydx) =
Somme (txdy-tydx)=
tx Somme(dy) - ty Somme(dx) comme Somme(dx)=Somme(dy)=0 sur un contour fermé on a
S=0

[Matthieu Brucher]

pfff... tout ça parce que je n'étais pas au labo aujourd'hui...

Sinon, je pense fortement que ça donne 0 aussi.

[DrTopos]

Bonjour à tous.

On peut d'abord remarquer que si le vecteur t est constant, on a (où \int_C est l'intégrale curviligne le long de la courbe C):

Code :

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1
2
 
\int_C t.N(s) ds = t.(\int_C N(s) ds)

car l'application x |-> t.x est une forme linéaire continue. On est donc ramené à prouver que

Code :

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1
2
 
\int_C N(s) ds = 0

Supposons la courbe C plane (plongée dans R^2) et suffisamment différentiable.
Soit f:R -> C un paramétrage (périodique par exemple) de la courbe C, dont le vecteur vitesse est tout le temps non nul. Considérons l'application G de ]-e,+e[xR dans R^2 définie par (où e (epsilon) est un réel petit strictement positif):

Code :

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2
 
(x,y) |-> f(y) + xN(y)

Cette application a une dérivée (qui pour chaque (x,y) est une application linéaire de R^2 vers R^2) bijective en chaque (0,y). En effet, les vecteurs de la base canonique de R^2 sont envoyés sur le vecteur vitesse et sur le vecteur normal.

Il en résulte (théorème d'inversion locale) que G est un difféomorphisme local en chaque point de la forme (0,y). Un argument de compacité montre facilement qu'il existe une valeur de e pour laquelle f est alors un difféomorphisme en tout point de ]-e,+e[xR. Son image est ce qu'on appelle un 'voisinage tubulaire' de C.

Considérons l'application h:]-e,+e[xR -> R définie par (x,y) |-> x et composons la avec la fonction réciproque de G. On obtient ainsi un potentiel p sur le voisinage tubulaire de C, dont le gradient en tout point de la forme G(0,y) est manifestement N(y). Il en résulte que:

Code :

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2
 
\int_C N(s) ds = \int_C grad(p)(s) ds = 0

car l'intégrale du gradient d'un potentiel sur un circuit fermé est nul (lemme de Poincaré).
[edit]
Ce dernier argument est érronné. Voir mon prochain post.
[/edit]

[j.p.mignot]

DrTopos indique

Un argument de compacité montre facilement qu'il existe une valeur de e pour laquelle f est alors un difféomorphisme

Pouriez-vous expliciter? mes cours de math sont déjà bien loin!


Par ailleurs, tout comme pour mon petit calcul vectoriel, je n'ai pas vu que votre approche incluait les courbes non planaires. J'avais aussi l'impression qu'il était possible de définir un champ scalaire dont l'intégralle proposée était l'intégralle du gradient mais en 3D je n'ai pas réussi à le formuler.

Juste pour ma curiosité je vous serais reconnaissant si vous avez quelques comments.

Merci!