1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
|
!*******************************************************************************************
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
! Ce programme consiste à résoudre un système *
! matriciel avec la méthode de la décente et la mentée *
! obtenue par la Factorisation LU (Lower-Upper) *
! *
! AX=B *
! *
! première étape : Le calcul de [Y] avec LY=B (décente ) *
! deuxième étape : Le calcul de [X] avec UX=Y (mentée ) *
! *
! Version Lundi 25 Mars 2013 *
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*******************************************************************************************
program Resolution_LU
implicit none
real , dimension (1:100,1:100) :: A,B,L,U,Y,X
integer :: n,i,j,k
real :: s
!*******************************************************************************************
!---> On commence la saisie de la matrice A à décomposer *
!*******************************************************************************************
n=3
call Lire_Matrice_Carree(n,A)
!*******************************************************************************************
!---> On affiche la matrice A au lecteur *
!*******************************************************************************************
write(*,*)'Votre matrice A est égale :'
call Affiche_Matrice_Carree(n,A)
!*******************************************************************************************
!---> On genere explicitement L qui la triangulaire inférieure [L] par Cholesky *
!*******************************************************************************************
call Factorisation_LU(n,A,L,U)
write(*,*)'voilà la matrice triangulaire inférieure L :'
call Affiche_Matrice_Carree(n,L)
write(*,*)'voilà la matrice triangulaire superieure U :'
call Affiche_Matrice_Carree(n,U)
write(*,*)'Pour vérifier voilà le produit L*U :'
call Produit_Deux_Matrices_Carrees(n,L,U,B)
call Affiche_Matrice_Carree(n,B)
!write(6,*)'Pour vérification , on utilise la fonction "matmul(l1:l3,c1:c3)" sur le produit des L et U'
!B(1:3,1:3) = matmul(L(1:3,1:3),U(1:3,1:3))
!call Affiche_Matrice_Carree(n,B)
end program Resolution_LU
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Produit_Deux_Matrice_Carree *
!---> Attention !! les deux matrices sont du même taille *
!*******************************************************************************************
subroutine Produit_Deux_Matrices_Carrees(n,L,U,Resultat)
implicit none
real , intent(inout) , dimension (1:n,1:n) :: Resultat
real , intent(in) , dimension (1:n,1:n) :: L,U
integer , intent(in) :: n
integer :: i,j,k
real :: s
do i=1,n
do j=1,n
s=0.
do k=1,n
s=s+(L(i,k)*U(k,j))
end do
Resultat(i,j)= s
end do
end do
end subroutine Produit_Deux_Matrices_Carrees
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Factorisation_LU *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A dont la matrice triangulaire supérieure est U avec Y déjà calculé .
subroutine Factorisation_LU (n,A,L,U)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(in) , dimension (1:n,1:n) :: A
real , intent(inout) , dimension (1:n,1:n) :: L,U
integer :: i,j,k
real :: somme1
!----------------Etape 1----------------
!le calcule du première terme de L --> L(1,1)
U(1,1) = A(1,1)
!l'affectation de la diagonale de U qui est unitaire --> U(i,i) = 1
do i=1,n
do j=1,n
if (j.eq.i) then
L(i,j)=1.
else
L(i,j) = 0.
end if
end do
end do
!le calcule de la première colonne de L --> L(i,1)
do j=2,n
L(j,1) = A(j,1)/A(1,1)
end do
!le calcule de la première ligne de U --> U(1,j)
do j=2,n
U(1,j) = A(1,j)
end do
!----------------Etape 2----------------
! Le calcule des termes j ièmme colonne de L (colonne par collone) d'abord et puis
! la j ièmme ligne de U (ligne par ligne) .
! Le j commence à partir de 2 car nous avons déjà calculé la prmière colonne de L c-à-d L(i,1)
! Le i commence à partir de (j+1) vu la forme triangulaire de L et la diagonale déjà egale à 1
do i=2,(n-1)
!Le calcule de la somme à soustaire sur les pivot U(i,i)
somme1=0.
do k=1,(i-1)
somme1=somme1 + ( L(i,k)*U(k,i) )
end do
!Le calule du pivot U(i,i) jusqu'au U(n-1,n-1)
U(i,i) = A(i,i) - somme1
do j=(i+1),n
!Le calcule de la somme à soustaire sur les termes U(i,j)
somme1=0.
do k=1,(i-1)
somme1=somme1 + ( L(i,k)*U(k,j) )
end do
!Le calule des termes U(i,j)
U(i,j) = A(i,j) - somme1
!Le calcule de la somme à soustraire sur les termes L(i,j)
somme1=0.
do k=1,(i-1)
somme1=somme1 + ( L(j,k)*U(k,i) )
end do
!Le calule des termes L(j,i)
L(j,i) = (A(j,i) - somme1)/U(i,i)
end do
end do
!----------------Etape 3----------------
!------- La calcule du pivot U(n,n) vu que notre boucle s'arrete sur (n-1) sur les i ------
!Le calcule de la somme à soustaire sur les termes Un,n)
somme1=0.
do k=1,(n-1)
somme1=somme1 + ( L(n,k)*U(k,n) )
end do
U(n,n) = A(n,n)-somme1
end subroutine Factorisation_LU
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Transposee_Matrice *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée qu'on transpose à R
subroutine Transposee_Matrice (n,A,R)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(in) , dimension (1:n,1:n) :: A
real , intent(inout) , dimension (1:n,1:n) :: R
integer :: i,j
do j=1,n
do i=1,n
R(j,i)=A(i,j)
end do
end do
end subroutine Transposee_Matrice
!**********************************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Decomposition_Cholesky qui donne L Triangulaire Inférieure *
!**********************************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée et qu'on donne sa matrcie inférieure R
subroutine Decomposition_Choleskyy_L_Diagonale_unite(n,A,R)
integer , intent(in) :: n
real , intent(in) ,dimension (1:n,1:n) :: A
real , intent(out) ,dimension (1:n,1:n) :: R
real :: somme1,somme2
integer :: i,j,k
!*******************************************************************************************
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
! Le début de l'algorithme de Cholesky *
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*-----------------------------------------------------------------------------------------*
!*******************************************************************************************
!*******************************************************************************************
! On calcule R(1,1) et toute la cologne correspondante c-à-d : R(j,1) *
!*******************************************************************************************
i=1
R(i,i) = 1 !sqrt(A(1,1))
do j=1,n
R(j,i) = A(i,j) !A(i,j)/sqrt(A(1,1))
enddo
!*******************************************************************************************
! L'incrémentation de (i) à (i+1) une fois remplie toute la cologne R(j,1) pour parcourire *
! en une seule boucle la matrice R *
!*******************************************************************************************
do i=2,n
do j=1,n
! somme1 est le calcule des R11 , R22 , R33 , ... du dénominateur de la formule
!somme1=0.
!do k=1,(i-1)
! somme1=somme1 + ( R(i,k)*R(i,k) )
!enddo
R(i,i) = 1 !sqrt( A(i,i) - somme1 )
! somme 2 est le calcule des Sum[ L(ik)*L(jk) ]
somme2=0.
do k=1,(i-1)
somme2=somme2 + ( R(i,k)*R(j,k) )
enddo
! ainsi les termes sont calculés facilement par cette seule boucle
R(j,i) = ( A(i,j) - somme2 )/R(i,i)
enddo
enddo
!Decomposition_Choleskyy=R
end subroutine Decomposition_Choleskyy_L_Diagonale_unite
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Lire_Matrice_Carree *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée
subroutine Lire_Matrice_Carree (n,A)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(out) , dimension (1:n,1:n) :: A
integer :: i,j
saisie_de_A: do j=1,n
do i=1,n
write(*,*)'entrer l''indice (',i,',',j,') :'
read(*,*)A(i,j)
end do
end do saisie_de_A
end subroutine Lire_Matrice_Carree
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Affiche_Matrice_Carree *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée
subroutine Affiche_Matrice_Carree (n,A)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(in) , dimension (1:n,1:n) :: A
integer :: i,j
Affiche_de_A: do j=1,n
do i=1,n
write(*,*)A(i,j)
end do
end do Affiche_de_A
end subroutine Affiche_Matrice_Carree
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Affiche_Matrice_Vecteur *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée
subroutine Affiche_Matrice_Vecteur (n,A)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(out) , dimension (1:n) :: A
integer :: i,j
do i=1,n
write(*,*)A(i)
end do
end subroutine Affiche_Matrice_Vecteur
!*******************************************************************************************
!---> Déclaration de la subroutine Lire_Matrice_Vecteur *
!*******************************************************************************************
! n est la taille de la matrice A supposée carrée
subroutine Lire_Matrice_Vecteur (n,A)
implicit none
integer , intent(in) :: n
real , intent(out) , dimension (1:n) :: A
integer :: i,j
do i=1,n
write(*,*)'entrer l''indice (',i,') :'
read(*,*)A(i)
end do
end subroutine Lire_Matrice_Vecteur |
Factorisation LU d'une matrcie carrée
Répondre avec citation
Envoyé par __dardanos__
Partager