Discussion :

[turbopuj]

Mes vieux souvenirs de probabilité ne me permettre pas de résoudre ce petit casse-tête...

J'ai un dé avec 6 faces équiprobables que je lance 5 fois de suite.

Quel est la probabilité d'avoir :
- 5 valeurs différentes (exemple 1,2,3,4,5)
- 4 valeurs différentes (exemple 1,2,3,3,5 ou 1,2,2,3,5)
- 3 valeurs différentes (exemple 1,2,2,2,3 ou 1,2,2,3,3)
- 2 valeurs différentes (exemple 1,1,1,1,5 ou 1,1,1,3,3)
- 1 valeur (exemple 1,1,1,1,1 ou 2,2,2,2,2)

Si quelqu'un arrive à trouver la solution et la démarche, je suis preneur

[Obsidian]

Hello,

Ça a l'air très sophistiqué à première vue mais en réalité, c'est évident une fois qu'on nous l'a dit. Pour établir la probabilité d'un événement quelconque :

• On établit tous les cas de figures possibles (l'univers) ;
• On fait le bilan des cas de figures « gagnants » ;
• On fait le rapport du nombre de cas gagnants sur le nombre total ;

C'est d'ailleurs ce que l'on fait naturellement et sans y réfléchir lorsqu'on ne lance le dé qu'une fois.

De là, on commence par établir le nombre de tirages différents que l'on peut obtenir en lançant cinq fois un dé de six. C'est la même chose que travailler en base 6 avec des nombres à cinq chiffres. Le premier tirage faire sortir six valeurs différentes. Le second tirage peut à son tour associer six valeurs à chacune des valeurs sorties au premier, et ainsi de suite. Par conséquent, en tirant cinq fois le dé, on peut former 6×6×6×6×6 = 6⁵ = 7776 valeurs différentes.

Pour le reste, il faut revoir les « combinaisons et arrangements » en mathématiques, qui commencent à être lointains pour moi aussi, mais tu peux quand même t'en sortir de cette façon :

— Pour les nombres formés d'un seul chiffre, il n'y a que six cas possibles : 11111, 22222, 33333, 44444, 55555 et 66666. La probabilité de tomber sur l'un d'eux est donc « 6 ÷ 7776 » ;

— Pour les nombres formés de deux chiffres, on commence par déterminer le nombre de valeurs possibles que l'on peut former avec deux chiffres, quels qu'ils soient. Là encore, comme chacun des chiffres peut prendre deux valeurs indépendamment de ses voisins, ce nombre est égal à 2⁵, soit 32. Sur ce nombre, on va retirer les cas où on ne trouve en pratique qu'un seul chiffre. Il y a en donc deux : si les chiffres possibles sont « 1 » et « 2 », les valeurs formées d'un seul chiffres sont « 11111 » et « 22222 ». Donc 32-2 = 30. Ensuite, on va faire le total de tous les couples formés de deux chiffres différents. Avec deux chiffres de 1 à 6, on fait 36 combinaisons. On retire les six cas où il n'y a qu'un seul chiffre (11, 22, 33, 44, 55 et 66) et il en reste 30. On divise ce chiffre par deux parce que l'ordre des chiffres n'influe pas sur le résultat : « 42 » est équivalent à « 24 », par exemple. Il reste 15. On multiplie ce nombre de couples par le nombre de valeurs à cinq chiffres formées de deux chiffres différent et on obtient : 15 × 30 = 450. La probabilité recherchée est donc « 450 ÷ 7776 » ;

— Pour les nombres à trois chiffres et à quatre chiffres différents, c'est un peu plus compliqué, il faut déterminer le nombre de valeurs composables avec trois chiffres sur cinq rangs est 3⁵ = 243, mais il faut retirer à ce nombre tous les cas où le nombre formé ne contient que le même ou les deux mêmes chiffres ;

— Arrivé à cinq, en revanche, ça redevient une combinaison mathématique. Si tous les chiffres doivent être différent, on en choisit un parmi les six possibles, puis le suivant parmi les cinq restants, etc. Donc 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720. La probabilité est donc « 720 / 7776 ».