Discussion :

[Mat32]

Hello,

Je cherche comment calculer la probabilité d'avoir un nombre supérieur à 100 lors de cette multiplication :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(rand*1) * (rand*10) * (rand*100)

Donc un nombre aléatoire entre 0 et 1 multiplié par un nombre aléatoire entre 0 et 10 multiplié par un nombre aléatoire entre 0 et 100.

J'ai effectué un algorithme pour calculer cette probabilité par test après en grand nombre d'essais mais j'ai besoin de savoir comment on calcule cette probabilité de manière rigoureuse.

Si quelqu'un peut m'aider ... Merci

[alex61]

moi je simplifirai a dire que ton calcul se simplifie par

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

rand^3*1000 > 100

ce qui donne

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
rand^3>0.1
rand>0.1^(1/3)

et vu que rand est entre 0 et 1 ca te donne la probabilité

cordialement

[Mat32]

Merci pour ta réponse ...

C'est ok pour ta simplification mais comment peut-on exprimer une probabilité avec un nombre aléatoire ?

[Myrne]

La réponse d'Alex26 me semblait rapide donc j'ai fait une vérification rapide sur Excel, et en effet ça n'est pas tout à fait ça.

P(rand>0.1^(1/3)) = 1 - 0.1^(1/3) = 0.535841117 (valeur cible selon Alex26)

En calculant 10 000 fois l'opération

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(rand*1) * (rand*10) * (rand*100)

j'obtiens environ 40% des résultats qui sont supérieurs à 100.

En calculant 10 000 fois l'opération

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

rand^3 * 1000

j'obtiens environ 53% des résultats qui sont au dessus de 100.

Conclusion, ces deux méthodes de calcul ne sont pas équivalentes, et ça ne m'étonne pas plus que ça:

Quand tu fais rand^3, tu as une seule variable aléatoire.
Quand tu fais rand * rand * rand, tu as en fait 3 variables aléatoires et la fonction de caractérisation n'est pas un bête produit des fonctions des 3 variables. Mes cours de probabilités sont beaucoup trop loin pour te donner la réponse, mais il te faut chercher du côté du produit de variables aléatoires suivant une loi uniforme (parce que je suppose que ta fonction rand est uniforme), et je pense que ce n'est pas si évident que ça.

[Graffito]

Result sera inférieur à 100 , si l'une des conditions suivantes est vérifiée :

• Rand 1=0 (Proba_A = 1/2)
• Rand 1=1 ET Rand 10 = 0 (Proba_B = 1/2 * 1/10)
• Rand 1=1 ET Rand 10>= 1 ET Rand 100=0 (Proba_C= 1/2 * 9/10 * 1/100)

Dans tous les autres cas, i.e Rand 1=1 ET Rand 10>=1 ET RAND 100>=1, Result sera supérieur ou égal à 100.

Donc, la proba résultante sera égale à Proba_A + Proba_B + Proba_C
Soit 0.5 + 0.05 + 0.0045 = 55.45% de résultats inférieurs à 100.

[davcha]

Sauf que ses variables aléatoires sont continues.

Soit X et Y deux variables aléatoires avec une densité de probabilité jointe égale à P_{X,Y}(x,y). La densité de probabilité de V=XY est

[Graffito]

Sauf que ses variables aléatoires sont continues.

Effectivement, si on travaille sur des rééls.
J'avais supposé que les nombres renvoyés par la fonction "rand" étaient des entiers .

[dividee]

Cela revient à calculer la probabilité que le produit de 3 variables uniformément distribuées entre [0,1] soit supérieur à 0.1.
La formule pour une distribution de produit uniforme se trouve ici: http://mathworld.wolfram.com/Uniform...tribution.html

Dans notre cas (n=3), cela donne: P(x) = 0.5 * ln(x)^2

En intégrant, on obtient la fonction de répartition: F(x) = 0.5 * x * ln(x)^2 - x * ln(x) + x

Donc, F(0.1) = 0.595353414823

La réponse est donc 1 - F(0.1) = 0.404646585177
... si je ne me suis pas trompé. Mais cela semble correspondre avec l'expérience (j'ai obtenu 0.40460607 avec 10^8 échantillons)

[Mat32]

Merci pour toutes vos réponses