Discussion :

[bizulk]

Bonjour,

Je n'arrive pas à déglutiner une formule qui permettrait de calculer le nombre total d'arrangement d'intercalaire dans une suite.
Je m'explique avec le cas suivant :
Soit 2 intercalaires notées par 'a' et 'b'
Soit une suite ordonnée de trois éléments notés par des chiffres : 1 2 3

Je dois composer une suite mélangeant les intercalaires à la suite, par exemple :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
 
a,b,1,2,3
a,1,b,2,3
a,1,2,3,b

Voilà je pensais par chercher toutes les façons de placer les intercalaires, puis
sur les suites ou les intercalaires se succèdent utiliser un factorielle.

Merci pour toute suggestion.

[bizulk]

On comprend avec cet exemple que 1,2,3 doivent se suivrent, mais que l'on fait comme on veut avec a,b,c. Sachant que leur ordre est à prendre en compte pour le décompte.

[Alexis.M]

imagine que tu numérote les positions possibles prises par les intercalaires.
Pour une séquence de n nombres tu as n+1 positions d'intercalaires possibles.

Il suffit donc de trouver le nombre de combinaisons de m intercalaires prises parmis n+1 possibilités... ou les arrangements si l'ordre n'est pas important.

[bizulk]

Oui mais si m>(n+1) ?

Sinon j'ai abordé le problème en le simplifiant (sans distinction des intercalaires). J'ai trouvé une solution comme étant la suivante :
Soit N le nombres d'intercalaires
Soit E la taille de la suite

Solution(N,E) = 1 + Somme(n=1 à N) Solution(n, E-1).
Avec
Solution(1,i) = i+1 (i>0)
Solution(n,1) = n+1
On s'arrête quand n=1 ou e=1.

Je peux détailler comme je trouve cela...

Maintenant il me resterait à distinguer les intercalaires.

[bizulk]

Je vais vérifier si la solution est aussi simple qu'un arrangement de N intercalaires sur E+1 positions....

[bizulk]

Donc si jeprends l'exemple suivant :
N = 2, E = 2
L'arrangement est A(2,3) ie 3!/1! soit 6.

Maintenant pour cette exemple on peut dérouler pour vérifier :
D'abord on considère que les intercalaires sont identiques, je les notes X
La suite est notée avec les chiffres soit 1 et 2
On a donc les possbilités suivantes

XX 1 __ 2 __
_X 1 X_ 2 __
_X 1 __ 2 X_
__ 1 X_ 2 X_
__ 1 __ 2 XX
__ 1 XX 2 __

On retrouve bien 6 possibilités mais comme leur ordre compte on considère chacune des lignes en remplace une X par A et l'autre B. On voit facilement que cela multiplie le nombre par 2, donc on a 12 possibilités.

[bizulk]

Je suis d'accord qu'il faille multiplier par N!
Ta solution me paraît être la bonne et la plus simple.
Par contre si j'imagine bien qu'en distribuant les intercalaires et les positions ça me donne (N+E)!, comment justifier la division par E! ?

[bizulk]

Ha oui la suite ne peut être qu'ordonnée (1, 2, 3) donc tu supprimes ces arrangements là avec le dénombrement de cette suite.
Bravo !