Discussion :

[JiPhi75]

Bonjour étant en apprentissage de python, je fais quelques exercices très basique.

Je voulais par exemple trouver le résultat de 2A² = C² tel que A et C soit des entiers.

Le programme m'a trouvé le couple suivant :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
A= 93222358
C= 131836323

Mais pour contrôler je fais

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> print(2*(93222358*93222358))
17380816062160328

mais si je fais (131836323)² j'obtiens

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> print(131836323 * 131836323)
17380816062160329

donc j'ai bien un de différence de 1.

Là je me dis c'est mon code qui déraille mais par acquis de conscience je fais ceci

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> print(sqrt(17380816062160328))
131836323.0

donc c'est quand même bien juste

et si je fais par exemple

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> print(sqrt(17380816062190328))
131836323.00011377

Je trouve cela étonnant.

car

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> print(sqrt(173))
13.152946437965905

Il y aurait donc une limite au nombre utilisable pour sqrt() ?

Merci de vous être penché sur mon problème

[dividee]

En Python, la précision des entiers n'est pas limitée, mais la fonction sqrt opère sur des flottants, qui eux ont une précision limitée. Lors de l'appel de sqrt, l'entier est converti en flottant et une perte de précision a lieu si l'entier est trop grand.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
>>> float(17380816062160329)
17380816062160328.0

L'idéal serait de trouver la solution sans passer par une conversion en flottant, c'est à dire sans passer par sqrt.

[tyrtamos]

Bonjour,

On peut utiliser la méthode de Heron d'Alexandrie (2000 ans!) qui est très efficace pour calculer la racine entière d'un nombre entier sans jamais convertir en flottant: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_H%C3%A9ron.

Voilà la version que j'utilise:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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def lrac2(x):
    """Racine carrée entière d'un nombre entier x (méth. de Héron d'Alexandrie)"""
    r1 = 1
    while True:
        r2 = (r1+x//r1)>>1
        if abs(r1-r2) < 2:
            if r1*r1 <= x and (r1+1)*(r1+1) > x:
                return r1
        r1 = r2

Mais, bien sûr, si x n'est pas un carré parfait, la racine n'est que la partie entière de la vraie racine.

On peut cependant faire des choses étonnantes avec de grands entiers:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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x = 4112508058167862726684138187739243495869080430700517 
print lcar2(x)
64128839519890446296697044

On peut aussi faire le calcul de la racine entière avec une méthode par dichotomie. C'est en plus généralisable à la racine nième (http://python.jpvweb.com/mesrecettes...racine_entiere)

On peut aussi travailler avec le module decimal qui permet de faire des calculs en flottant avec une précision arbitraire.

[kwariz]

Bonjour étant en apprentissage de python, je fais quelques exercices très basique.

Je voulais par exemple trouver le résultat de 2A² = C² tel que A et C soit des entiers.


(...)

Hello,
si tu réussis, ça sera effectivement un résultat mathématique étonnant

tu cherches à trouver deux entiers A et C tels que a/c = sqrt(2) ... tu prouverais que sqrt(2) est un rationnel ...

Tout va dépendre de ton code ... les flottants ne sont pas assez précis pour calculer avec de grands entiers, en général.

[mont29]

Ce serait pas plutôt c/a = sqrt(2)*?

Mais effectivement, c’est bien vu, la recherche risque de durer… ad vitam æternam*!

[kwariz]

Ce serait pas plutôt c/a = sqrt(2)*?

Mais effectivement, c’est bien vu, la recherche risque de durer… ad vitam æternam*!

ooops effectivement

Wheeler disait «ne jamais faire un calcul avant d'en connaître le résultat», mais bon là ce n'est pas de la physique.

[rambc]

Bonsoir,
au passage un petit programme tout bête pour montrer les problèmes inhérents aux nombres flottants.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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#! /usr/bin/env python
#coding=utf-8
 
i = 1
 
A = 1.0
while ((A + 1.0) - A == 1.0):
    i += 1
    A *= 2
 
print(i)

[Sve@r]

Bonsoir,
au passage un petit programme tout bête pour montrer les problèmes inhérents aux nombres flottants.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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11
#! /usr/bin/env python
#coding=utf-8
 
i = 1
 
A = 1.0
while ((A + 1.0) - A == 1.0):
    i += 1
    A *= 2
 
print(i)

Plus simple

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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#! /usr/bin/env python
#coding=utf-8
print "%.15f" % 9.95

[rambc]

Bonjour,
c'est vrai que c'est plus simple.

L'intérêt de l'exemple dans mon post c'est qu'il montre aussi de façon courte la différence entre algorithme et programme.

[JiPhi75]

désolé de répondre si tard...

Merci pour toutes les précisions

et effectivement, plutôt obnubilé par la création d'une boucle et l'obtention d'un résultat "bizarre" (que je comprends maintenant). J'ai oublié de faire une simple analyse du problème et de voir qu'effectivement il ne pouvait y avoir de résultat.

Nbre rationnel/Nbre rationnel = donnera toujours un nombre rationnel
et sqrt(2) est un nombre irrationnel

[kwariz]

Attention, comme la question est posée il y a une solution le couple (0,0) ...

[JiPhi75]

effectivement 2*(0²) = 0² semble juste car donne 2 *(0*0) = (0*0) donc 2*0 = 0

mais puisque 2A² = C² est égale C/A = sqrt(2) si on remplace C par 0 et A par zéro

donc est-ce vrai aussi pour (0/0) = sqrt(2) ?



PS : je sors du sujet sur lequel j'ai déjà eu ma réponse.

[kwariz]

effectivement 2*(0²) = 0² semble juste car donne 2 *(0*0) = (0*0) donc 2*0 = 0

mais puisque 2A² = C² est égale C/A = sqrt(2) si on remplace C par 0 et A par zéro

donc est-ce vrai aussi pour (0/0) = sqrt(2) ?



PS : je sors du sujet sur lequel j'ai déjà eu ma réponse.

si tu as deux réels qui vérifient 2A²=C² tu peux diviser par A ssi A est non nul ... donc non

[mont29]

Je ferais probablement mieux de laisser un prof de math répondre, mais il me semble que la division par zéro est «*interdite*»…

Je me rappelle d’ailleurs un S&V Junior dans lequel ils s’amusaient à démontrer que 1+1 = 3 (ou un truc de ce goût là), justement grâce à une division par zéro dans une des étapes de leurs démonstration…

[wiztricks]

Salut,

Voir Wikipedia
Ce qui est vrai pour l'algèbre n'est pas forcément 'ailleurs' car l'impossibilité (et non l'interdiction, les maths n'ont pas fonction de "police") y est définie par:

Or, la division s'entend comme l'opération réciproque de la multiplication. Diviser x par y, c'est chercher l'élément z tel que z*y=x. Or, comme on vient de le voir, si y vaut 0 et x est un nombre autre que zéro, aucun nombre z ne peut satisfaire une telle propriété. Si y est 0 et x aussi, z peut être n'importe quoi.

Mais pour l'informatique, la chose est définie ainsi le par standard IEEE 754:

Tout nombre positif non-nul divisé par 0 donne Inf (l'infini), tandis qu'un nombre négatif donne -Inf. Cependant il est aussi prévu que le diviseur ait une valeur de zéro, tout en ayant son signe négatif (-0). Dans ce cas, le signe de l'infini est inversé. Techniquement, cela vient du fait que dans le codage des nombres à virgule flottante en informatique, un bit indique si le nombre est positif ou négatif, les autres bits représentant la valeur absolue. En fait, excepté quand on calcule avec des nombres complexes, la division par zéro est quasiment le seul cas où la distinction +0/-0 prend une importance.

Dans tous les cas, il est préférable de réfléchir un peu avant de coder.
- W

[rambc]

Je confirme qu'il est interdit de diviser par zéro, et que pour passer de 2A² = C² à C/A = sqrt(2) il faut absolument supposer A non nul.

[JiPhi75]

donc le couple (0,0) est à exclure car sans le savoir l'équation 2A² = C² sousd entend que A ne doit pas être égal à 0 (ce qui est différent de nul en informatique)

[kwariz]

Non.

avec A et C des entiers naturels,

l'équation 2A²=C² a exactement une solution (A,C)=(0,0)
l'équation C²/A²=2
1. impose A non nul pour être valide
2. Si A est non nul alors
résoudre C²/A²=2 revient à résoudre 2A²=C², avec A non nul
2A²=C² a pour unique solution (0,0) or A doit être non nul
Donc C²/A²=2 n'a aucune solution pour A et C des entiers naturels.

[JiPhi75]

Oui je comprends bien cela mais j'en reviens donc à mon titre.

Le résultat est étonnant puisque Si 2A² = C² est équivalent à dire racine carré de 2 = C/A
mais 2*(0²) = 0² n'est pas équivalent à racine carré de 2 = 0/0 car impossible

je sais que c'est vrai mais néanmoins je trouve cela étonnant. Bien qu'en y réfléchissant cela doit être fréquent avec le 0

[kwariz]

Oui je comprends bien cela mais j'en reviens donc à mon titre.

Le résultat est étonnant puisque Si 2A² = C² est équivalent à dire racine carré de 2 = C/A
mais 2*(0²) = 0² n'est pas équivalent à racine carré de 2 = 0/0 car impossible

je sais que c'est vrai mais néanmoins je trouve cela étonnant. Bien qu'en y réfléchissant cela doit être fréquent avec le 0

Justement, ce n'est pas équivalent. Mais il y a deux problèmes bien distincts :

* tu ne peux pas passer de 2A²=C² à 2=C²/A² sans préciser «pour A non nul»
* ton programme met en évidence que les calculs effectués avec des nombres dont la précision est limitée peut donner des résultats faux.
cette dernière remarque est surtout à prendre dans le sens : le domaine de validité de ton programme est limité par la représentation des nombres, donc il ne faut pas interpréter les résultats hors du domaine.