Discussion :

[ccensam]

Aprés des jours de travail avec les équations mathématique mais son resultat applicable. Je m'adresse à vous pour m'aider.

Voila mon probléme : On veut calculer le périmétre d'un cercle sachant qu'il passe par 3 points non colineair A(X1,Y1) B(X2,Y2) et C(X3,Y3). On n'a pas ni le rayon ni le diamétre!!

Alors j'ai pensé à l'intersection des medianes de (AB) et (AC) et (BC) mais il y a trop de conditions sur les calcules . Merci

[pcaboche]

Peut-être en t'aidant de l'équation cartésienne d'un cercle dans le plan, voir ici:http://homeomath.imingo.net/cercle1.htm

A partir de cette équation, tu peux essayer de déterminer mathématiquement a et b et donc en déduire r (et enfin le périmètre du cercle).

[aaronw]

en géométrie :
le centre du cercle est le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [AC]

donc il faut calculer les equations de chaque médiatrice.
ce lien montre comment calculer cet equation de la médiatrice.
http://cyberlesson.free.fr/Cybermath...mediatrice.htm

[ToTo13]

Bonjour,

si tu connais un peu les math, tu peux calculer l'intersection des médiatrices des segments [AB] et [AC].
Cette intersection te donnera le centre du cercle passant par ces trois points. Une fois avec le centre, tu calcules le rayon et ensuite le périmètre du cercle.

[pcaboche]

Cas particulier pour éviter les divisions par 0: si pour deux points A et B on a Xa=Xb et Ya!=Yb, dans ce cas on a directement:
- les coordonnées du centre (Xa; Ya+Yb/2)
- le rayon du cercle ( abs(Yb-Ya)/2 )

On vérifie alors que le troisième point C se trouve bien sur le cercle (grâce à l'équation cartésienne du cercle).

C'est la même chose si Ya=Yb et Xa!=Xb, ou pour les points B et C. Donc si le langage le permet (C, C++), on utilise des pointeurs pour traiter tous ces cas particuliers de manière générique.

Une fois tous ces cas particuliers éliminés, on n'a plus à se soucier des divisions par 0 (puisque Xa,Xb,Xc sont tous différents, de même pour Ya,Yb,Yc).

[j.p.mignot]

Si con considère A(Ax,Ay) B(Bx,By) et C(Cx,Cy) comme les 3 points donnés :
On déduit les points médiants ab ( (Ax +Bx)/2,(Ay+By)/2) et
bc((Bx+Cx)/2,(By+Cy)/2).
Les pentes sont Pab = (By-Ay)/(Bx-Ax) et P(bc=(Cy-By)/(Cx-Bx)
on associe alors P'ac=-1/Pab P'bc=-1/Pbc pour définir les normales.

On a donc les 2 médianes à partir des couples (ab,P'ac) et ( bc,P'bc) d'où le centre si ces 2 droites ne sont pas paralèlles ( ce qui arrive si A,B,C sont collinéaires)
il faut bien entendu traiter spécifiquement les cas Pab ou Pbc=0 ( => droite horizontale => normale verticale et P' n'existe pas) et les cas où Pab resp. Pbc n'existe pas ( droite vrticale => normale Horizontale => P' =0)

[Loran]

bonjour,

Voila comment j'avais procédé.

Code :

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xd1 = (x2-x1)/2
yd1 = (y2-y1)/2 
xd2 = (x3-x1)/2 
yd2 = (y3-y1)/2 
d1 = yd1*xd2-yd2*xd1  
Si d1=0 alors pas de solution  // cas de colinéarité
sinon
    débutsinon
        d2 = yd1*(yd1-yd2)+xd1*(xd1-xd2)
        k = d2/d1
        xc = xd2+x1-k*yd2
        yc = yd2+y1+k*xd2
        r = dist(x1,y1,xc,yc)    // distance entre (x1,y1) et (xc,yc)
    finsinon

Où (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) sont les coordonnées des trois points
(xc,yc) sont les coordonnées du centre
r est le rayon du cercle

Cordialement
Loran

[ToTo13]

ATTENTION,

l'intersection des médianes, donne le cercle du centre INSCRIT dans le triangle formé des trois points. La distance entre les chacun des points du triangle et le centre trouvé varie alors pour chacun des points du triangle.
La seule façon pour avoir le périmètre est donc d'utiliser les médiatrices.

[Loran]

ATTENTION,

l'intersection des médianes, donne le cercle du centre INSCRIT dans le triangle formé des trois points. La distance entre les chacun des points du triangle et le centre trouvé varie alors pour chacun des points du triangle.
La seule façon pour avoir le périmètre est donc d'utiliser les médiatrices.

Bonjour,

Petite correction

Point de concours des
- mediatrices -> centre du cercle circonscrit
- bissectrices -> centre du cercle inscrit
- médianes -> centre de gravité (isobarycentre)
- hauteur -> orthocentre

Cordialement
Loran

[DrTopos]

Si on appelle a, b et c les longueurs des trois cotés du triangle, et R le rayon du cercle circonscrit, la surface S du triangle est donnée par

Code :

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S = (abc)/4R

Par ailleurs, en notant s le demi périmètre du triangle (s = (a+b+c)/2), on a:

Code :

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S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

(formule dite de Héron d'Alexandrie).

Il en résulte qu'on obtient le rayon du cercle circonscrit en fonction des longueurs des trois cotés:

Code :

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R = (abc)/4sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

On remarque que le dénominateur s'annule précisément quand la surface du triangle est nulle, c'est à dire quand les trois sommets sont alignés.

[ccensam]

Voila un petit algorithme qui suffira à resoudre mon probléme sans se plenté dans les divisions.
1- Supposons les trois point A(Ax,Ay) , B(Bx,By) et C(Cx,Cy).
2- On fixe une precision epsilon( = par exemple 0.000000001).
3- En premier temps on calcule les centres des segments [AB],[AC] et [BC]. Suposons ces centre I(a,b) J(c,d) et K(e,f).
4- Et on boucle :

Code :

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Tantque( dist(I,J,K)>epsilon) getmilieu(I,J,K);
  la fonction dist() returne le max des distance d(I,J) d(I,K) et d(J,K).
  la fonction getmilieu() trouve les milieux I,J,K des segments repectivement [IJ],[IK] et [IK]

Une fois sortie de la boucle, on peut dire que le centre du cercle est l'un des I,J,K avec la precision epsilon.
Et c'est fini :

Code :

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perim= 2*dist(I,A)*pi

.
Si vous ne comprenez pas quelque chose on peut le discuter.

[DrTopos]

Tu veux dire que I,J et K remplacent A,B et C à chaque passage dans la boucle ?

[ccensam]

Disant oui à chaque passage de la boucle, on cherche le milieu des segments [IJ],[IK] et [JK] puis on les affecte à I,J et K.
Tu fais un dessin devant toi et tu vera comment ça marche. Tu trace les droites (AB) (AC) et (BC) (c'est un triangle) puis les droites qui passent par leur milieux (tu aura un triangle plus petit inclus dans le premier ainsi de suite jusqu'à avoir un triangle dont la longuer de la max des cotes est inférieur à epsilon : disant un point!!!

[DrTopos]

J'ai bien compris. Malheureusement, ton algorithme est faux, car le point que tu trouves est le centre de gravité, pas le centre du cercle circonscrit.

[Graffito]

Bonjour,

Comme j'ai pas voulu rédiger le calcul moi-même, j'ai fait une peite recherche sur le web et j'ai vite trouvé :

Let the equation of the circle be

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2,

and substitute the three known points, getting 3 equations in 3
unknowns h, k, and r:

(x1-h)^2 + (y1-k)^2 = r^2
(x2-h)^2 + (y2-k)^2 = r^2
(x3-h)^2 + (y3-k)^2 = r^2

which you can solve simultaneously. First subtract the third equation
from the other two, thus eliminating r^2, h^2, and k^2. That will
leave you with 2 simultaneous linear equations in h and k to solve.
This you can do as long as the 3 points are not collinear. Then those
values of h and k can be used in the first equation to find the
radius:

r = sqrt[(x1-h)^2 + (y1-k)^2].

Example: Suppose a circle passes through the points (4,1), (-3,7), and
(5,-2). Then we know that:

(h-4)^2 + (k-1)^2 = r^2
(h+3)^2 + (k-7)^2 = r^2
(h-5)^2 + (k+2)^2 = r^2

Subtracting the first from the other two, you get:

(h+3)^2 - (h-4)^2 + (k-7)^2 - (k-1)^2 = 0,
(h-5)^2 - (h-4)^2 + (k+2)^2 - (k-1)^2 = 0,

h^2 + 6h + 9 - h^2 + 8h - 16 + k^2 - 14k + 49 - k^2 + 2k - 1 = 0
h^2 - 10h + 25 - h^2 + 8h - 16 + k^2 + 4k + 4 - k^2 + 2k - 1 = 0

14h - 12k + 41 = 0
-2h + 6k + 12 = 0

10h + 65 = 0
30h + 125 = 0

h = -13/2
k = -25/6

Then

r = sqrt[(4+13/2)^2 + (1+25/6)^2]
= sqrt[4930]/6

Thus the equation of the circle is:

(x+13/2)^2 + (y+25/6)^2 = 4930/36

[ccensam]

ah oui vous avez raison, il donne le centre de gravité() .
Mais est-ce il y a possibilité de le modifier pour avoir le centre du cercle? Essayons tous!!!!? Sachant qu'ils sont colinéaires (le centre de gravité et le centre du cercle).

[ccensam]

Alors cette fois c'est resolu. Merci Graffito
Mais (je vais pas mettre resolu) essayons de trouvez une relation entre le centre de gravité et le centre du cercle. ok

[DrTopos]

Le centre de gravité divise le segment formé par l'orthocentre (intersection des hauteurs) et le centre du cercle circonscrit dans le rapport 2/3 coté orthocentre et 1/3 coté centre du cercle circonscrit. C'est une propriété bien connue de la droite d'Euler. Ceci-dit, je crois que ça ne fait pas avancer le problème.

Par contre je crois que la formule que j'ai donnée pour le périmètre du cercle circonscrit:

Code :

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P = 2pi (abc)/sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

est assez simple (et certainement la plus élégante et la plus symétrique). Evidemment, il fadrait la retravailler un peu pour minimiser le nombre de racines carrées à calculer. En fait, elle va conduire grosso-modo aux même calculs que ceux proposés par Graffito. Je constate quand même que le calcul de Graffito ne demande qu'une seule racine carrée, alors qu'à priori celle que j'ai donné en demande 4 (une pour a, une pour b, une pour c et celle du dénominateur). Mais cela doit pouvoir s'optimiser.

La formule d'Héron d'Alexandrie est utilisée couramment de nos jours par les agriculteurs qui veulent connaitre la surface de leurs champs. Bien qu'Héron d'Alexandrie ait vécu au 1er siècle après JC, cette formule était sans doute déjà connue de Pythagore au 3ieme siècle avant JC.

[Graffito]

Bonjour,

Déterminer le centre de gravité est assez simple : le point se situe au 2/3 de chaque médiane.

Donc, si le point M est le centre de BC et G le centre de gravité.
Mx:=(Bx+Cx)/2 ;
My:=(By+Cy)/2 ;

Gx:=Ax+2*(Mx-Ax)/3 ;
GY:=Ay+2*(My-Ay)/3 ;

ce qui se simplifie en :
Gx=(Ax+Bx+Cx)/3
Gy=(Ay+By+Cy)/3

[ccensam]

C'est vraiment superbe cette formule d'Héron d'Alexandrie.
Problème reglé merci