Discussion :

[Fredchkek]

Bonjour,

Je réfléchis actuellement à la résolution de l'équation de POISSON (LAPLACIEN V = f(x,y,z)) et il y a quelque chose que je n'arrive pas à saisir.

En cartésien, la dérivée seconde en chaque point du maillage peut s'écrire comme une somme pondérée des valeurs de V prises aux points avoisinants. Pour les points qui ne sont pas sur les bords, on utilise les points de part et d'autre (méthode centrée) sinon on peut utiliser la méthode en avant ou en arrière. Bref, on peut, en tout point, écrire une équation (issue de POISSON) et si on a N points dans le maillage, on peut donc écrire N équations à N inconnues.

Ce que je ne comprends pas, c'est si l'on ajoute une condition de NEUMANN, on ajoute une condition sur la dérivée de V dans une direction donnée = on ajoute des équations en gardant le même nombre d'inconnues. Autrement dit, on doit résoudre un système où il y a plus d'équations que d'inconnues. Il n'y a donc pas forcément de solution ??

Quelqu'un peut m'aiguiller ?

[Invité]

Bonjour,
Je peux vous répondre sur un point.
Soit un certain nombre d'observations. Disons que 3 (trois) observations suffisent à déterminer la relation cherchée.
Etant donné que l'on a plus de 3 observations, quelle est la logique pour trouver la relation ? (fin de reformulation)
On dit que la relation à trouver est celle dont la somme des carrées des écarts entre chaque observation et la valeur calculée sera minimum.
Dans la pratique,
Soit ei la différence entre la valeur calculée et la valeur vraie (observation)
on veut que Somme (ei²) soit minimum. Ce sera le cas si la dérivée est nulle.
On obtient ainsi un système de n équations à n inconnues. (facile à résoudre )
Donc, normalement, vous devriez réussir à établir votre système d'équations linéaires.
Cordialement.

[Fredchkek]

On dit que la relation à trouver est celle dont la somme des carrées des écarts entre chaque observation et la valeur calculée sera minimum.

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre votre remarque. Voulez vous dire qu'une méthode de moindres carrés est censée m'aider à choisir mes N équations ? Je ne pense pas car cela voudrait dire que j'ai une idée de la forme analytique de ma fonction V (nécessaire pour le calcul des dits carrés).

De toutes façon si je choisis de respecter "seulement" N équations à N inconnues parmi les N+M que je peux écrire, cela signifie que je choisis de renoncer à respecter soit l'équation de Poisson soit les conditions aux limites (Neumann), du moins en certains points ! C'est cela que je ne comprends pas. Comment fait on généralement ?

[Invité]

Oui,
Je ne connais pas l'équation de Poisson (sauf de nom), pas contre, je connais le principe de la méthode pour déterminer les termes d'une fonction lorsqu'on a des valeurs en sur-nombre, et pour n'en éliminer aucune, c'est pour cela que je disait que c'était une réponse sur un seul point. Mais je n'en sais pas plus.

[Ehouarn]

Bonjour,

Ce que je ne comprends pas, c'est si l'on ajoute une condition de NEUMANN, on ajoute une condition sur la dérivée de V dans une direction donnée = on ajoute des équations en gardant le même nombre d'inconnues. Autrement dit, on doit résoudre un système où il y a plus d'équations que d'inconnues. Il n'y a donc pas forcément de solution ??

Non, il y a toujours autant d'équations que de nombres de points de grille (bornes inclues). Ce qui change selon qu'on ait une condition à la limite Dirichlet (valeur imposée) ou Neumann (dérivée de la valeur imposée) est que dans le premier cas il n'y a rien à résoudre (on connaît déjà la valeur, donc pas d'inconnue à déterminer) et on se retrouve avec un système linéaire contenant moins d'équations et d'inconnues que dans le second.
Voir par exemple cette page et les exemples associés, pour voir ce qui change d'un cas à l'autre.

Bonne continuation.

[Fredchkek]

@Ehouarn

Bonjour Ehouarn,

Merci pour le lien qui est très pédagogique. A propos des conditions aux limites il est dit :

Du point de vue du système linéaire, cela signifie que l'on dispose de deux contraintes complémentaires (sur les valeurs nodales y0 et ym) à satisfaire. Ces contraintes, qui satisfont l'équation différentielle, sont à substituer aux expressions générales déduites ci-dessus.

Ce qui signifie bien que l'on sacrifie certaines des équations initiales ...
Mais en fait je crois que cela se tient car il s'agit d'une résolution numérique qui n'est qu'une approximation! En gros, on fait au mieux pour tenir compte des infos dont on dispose et les équations aux limites sont prioritaires sur l'écriture locale de l'équation à résoudre.

Ce qui me tracasse toujours, c'est que dans le cas des conditions de Neumann on introduit des équations un peu différentes des autres et cela peut conduire à une matrice qui n'est plus symétrique et définie positive. En conséquence, la plupart des méthodes numériques peuvent ne pas converger (Gauss-Seidel, gradient conjugué ...). Ne peut-on alors utiliser que la méthode du double gradient conjugué ? Y a t'il une astuce ?

[Fredchkek]

Je suppose qu'il faut en fait réarranger le système pour rendre la matrice symétrique (en faisant des combinaisons linéaires de lignes) ...

[FR119492]

Salut!
La première chose à faire serait de nous dire si tu utilises la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis ou une autre.
Jean-Marc Blanc

[Fredchkek]

Salut!
La première chose à faire serait de nous dire si tu utilises la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis ou une autre.
Jean-Marc Blanc

Effectivement ...

Je pensais utiliser la méthode des éléments finis pour résoudre l'équation de POISSON à laquelle obéit le potentiel électrique dans une structure semiconductrice.
Je pars vraiment de zéro et j'essaye de faire quelque chose de "potable". Je voulais discrétiser ma structure en mailles cubiques identiques (j'ai bien peur que ce soit trop compliqué sinon (?)) et j'avais pensé à une méthode de Gauss Seidel (avec relaxation) ou gradient conjugué.
La deuxième étape serait de gérer l'équation de continuité pour suivre l'évolution des densité de charges. A chaque step temporel il faudra donc résoudre l'équation de Poisson (cette résolution doit donc être assez prompte)


Rien n'est figé à ce stade, que me conseillez-vous ??

[FR119492]

Salut!

Je voulais discrétiser ma structure en mailles cubiques identiques

Si je t'ai bien compris, tu veux résoudre ton problème à 3 dimensions. Je crains que ça soit monstrueux. Moi-même, après plus de 40 ans dans ce domaine, j'hésiterais à me lancer dans la programmation d'un tel problème. Essaie plutôt de trouver un programme tout fait.

A chaque step temporel il faudra donc résoudre l'équation de Poisson

Je crains aussi que le temps d'exécution de ton hypothétique programme soit aussi monstrueux.
Alors je te conseille ceci: commence par formuler ton problème de manière irréprochable; ensuite, examine attentivement s'il est possible de le simplifier, par exemple en le réduisant à 2 dimensions.
Jean-Marc Blanc

[Ehouarn]

Bonjour,

Ce qui me tracasse toujours, c'est que dans le cas des conditions de Neumann on introduit des équations un peu différentes des autres et cela peut conduire à une matrice qui n'est plus symétrique et définie positive. En conséquence, la plupart des méthodes numériques peuvent ne pas converger (Gauss-Seidel, gradient conjugué ...). Ne peut-on alors utiliser que la méthode du double gradient conjugué ? Y a t'il une astuce ?

Si la matrice n'est plus symétrique et définie positive, on perd effectivement la garantie que certaines méthodes convergent; ce n'est pas si dramatique que ça peut en avoir l'air et il y a de bonnes chances (vu le système "de départ") que les choses se passent bien malgré tout. Personnellement, je tenterais d'abord le coup sans chercher à améliorer les propriétés du système, et ce n'est que si les choses se passent mal que je plancherais sur ce problème (effectivement en cherchant à triturer la matrice pour la rendre à diagonale dominante ou quelque chose du genre).

Pour ce qui est du problème à résoudre, une équation d'évolution spatio-temporelle de Poisson en 3D, c'est effectivement un assez gros morceau (je ne suis toutefois pas aussi pessimiste que Jean-Marc sur la faisabilité de la chose).
A moins qu'il s'agisse là d'un exercice que tu t'imposes, je préconiserai de chercher des programmes ou bibliothèques numériques adaptés (et là ça dépend de tes langages de programmation de prédilection ainsi que de la méthode de résolution que tu choisiras d'employer; toutes feront au final l'affaire pour un cas assez "académique" comme le tiens; prends donc plutôt une que tu connais déjà) qui te fourniront les "blocs élémentaires" nécessaires pour la résolution de ton cas.

Bon courage.

Ehouarn

[Fredchkek]

Bonjour

Merci Jean-Marc et Ehouarn pour vos réponses ...

@ Jean-Marc : puisque le membre de droite dans mon équation de Poisson est quelconque (en tous cas, il n'y a pas de symétries), je crains que je ne puisse pas me ramener facilement à un problème 2D ... Je sais que c'est un gros boulot mais j'espère quand même que tu surestimes la complexité car j'aimerais y arriver ... Quoiqu'il en soit je vais suivre ton conseil et commencer par formuler précisément le problème.

@ Ehouarn : ouf, tu penses que c'est jouable ! Çà me "re-motive" ... C'est effectivement un exercice que je m'impose donc je vais probablement éviter d'utiliser des boîtes à outils existantes (j'ai toujours du mal à utiliser les outils existants ... ). Si j'échoue, j'y penserai sans doute...

Pour donner quelques éléments de réponses par rapport à la question initiale, je propose une synthèse pour la résolution de ce problème :

But : Résoudre l'équation de POISSON et l'équation de continuité dans une structure semiconductrice.

Etape 1 : Poser le problème (en 3D), écrire les équations et tentative de simplifier à 2D
Etape 2 : Si méthode des éléments finis, mailler la structure (des cubes de mêmes tailles ?). [Je ne suis pas sur que ce soit la "meilleure" méthode]
Etape 3 : Écrire l'équation de Poisson discrétisée => Écrire un système de N équation à N inconnues (N étant le nombre de noeuds)
Etape 4 : Remplacer les équations concernées par les équations de conditions aux limites. On a alors un système A.M=B à résoudre
Etape 5 : La matrice A n'est pas forcément définie positive et symétrique mais on peut tenter une résolution avec une méthode classique (Gauss-Seidel, SOR, gradient conjugué). En cas de problème, on triture les système pour le rendre symétrique+positif. Éventuellement, utiliser la méthode du double gradient conjugué (?).
Etape 6 : Tenir compte de l'équation de continuité (équa. différentielle en temps) pour "mettre à jour" le nouveau membre de droite de la "nouvelle" équation de Poisson.
Etape 7 : Retour à l'étape 3

Voilà, j'espère que ma démarche tient la route (merci de réagir). Encore merci pour cette discussion.

Fredchkek

[FR119492]

Salut!
Comme d'une part le titre de cette discussion est erroné et que d'autre part j'ai lu des messages en diagonale, nous sommes partis dans une fausse direction: tu cherche une fonction de l'espace et du temps f(x,y,z,t) et non une fonction du temps seulement. Il s'agit donc d'une équation de Fourier (ou apparentée) et non d'une équation de Poisson.
Venons-en maintenant à ce que tu essaies de faire. Tu proposes une discrétisation en petits cubes, ce qui donne à penser que ton domaine est un parallélipipède. Dans ce cas, la méthode des différences finies est plus simple à programmer que celle des éléments finis.
Pour terminer, une question essentielle: la relation faisant intervenir le temps est-elle linéaire?
Jean-Marc Blanc

[Invité]

Bonjour,
Je connais mes limites en mathématique et sur ce plan, je ne peux par apporter grand-chose.
Par contre, je me demande à la lecture des ce sujet, si le but est de trouver une solution mathématique à un problème mathématique, on de trouver un algorithme à la résolution numérique d'une fonction mathématique?
Autre interrogation pour moi : le mathématiques offrent des outils de formalisation de notions intellectuelles. En informatique, on a parfois besoin de tels outils mathématiques. Est-on dans ce contexte?

J'irai donc dans le même sens que FR119482 (certainement très repérable lors de ses déplacements en voiture ) Quelle est réellement la question?

[Fredchkek]

Bonjour,

Effectivement, le sujet a "dérivé" sur mon problème plus général et non sur la question initiale, plus ciblée... Peut-être devrait t'on renommer cette discussion "Questions sur la résolution (numérique) simultanée de l'équation de Poisson et de l'équation de continuité" ?

Le problème mathématique est le suivant : il faut résoudre le système d'équations (1 équation de poisson + 2 équations de continuité)

-e.Laplacien V(x,y,z,t) = k + p(x,y,z,t) - n(x,y,z,t)

q. dn(x,y,z,t)/dt = div Jn

q. dp(x,y,z,t)/dt = -div Jp


avec

Jn = -q.un.n(x,y,z,t).grad(V) + q.Dn.grad(n(x,y,z,t))
Jp = q.up.p(x,y,z,t).grad(V) - q.Dp.grad(p(x,y,z,t))

e, k, q, Dn, Dp, un et up sont des constantes connues
p et n sont connues en tout point à t=0

Résoudre ce problème signifie donc trouver V, n et p en tout point et à tout temps !

Dans mon idée il s'agissait de commencer à résoudre la première équation à t=0 (puisque la seule inconnue est V).
Avec la valeur de V à t=0, on peut ensuite résoudre les 2 autres équations pour trouver les valeurs de p et n à 0+dt.
Ensuite on recommence ...

Pour la méthode numérique :
- Discrétisation de la structure (qui est raisonnablement un parallélépipède)
- Résolution de l'équation de POISSON avec une méthode Gauss-Seidel relaxée. Le Laplacien s'écrit à l'aide du développement limité de V à l'ordre 4 (donc Laplacien d'ordre 2). NB: Je pensais que c'était la méthode des éléments finis mais, manifestement, je me trompe ...
- Résolution des équations temporelles avec RK4
- On recommence au point 2

Est-ce clair ? Qu'en pensez-vous ? Est-ce judicieux ?

[FR119492]

Salut!
Encore quelques questions et remarques:

• A première vue, les expressions de Jn et Jp n'ont pas l'air linéaires; est-ce juste?
• Est-ce que Dn et Dp sont aussi des constantes?
• Quelles sont les conditions aux limites sur les 6 faces du parallélipipède?
• Pour passer de t=0 à t=0+dt, tu proposes en fait la méthode d'Euler d'ordre 1, qui est fondamentalement instable, surtout avec un système raide (stiff) comme celui sur lequel tu vas tomber. Ta solution va partir dans les choux!

Jean-Marc Blanc

[Fredchkek]

A première vue, les expressions de Jn et Jp n'ont pas l'air linéaires; est-ce juste?

Je ne comprends pas bien cette question ... Linéaire par rapport à quoi ? A quoi cela servirait (puisque les J sont dans des div)? De toute façon ce n'est linéaire par rapportt à aucune variable ...

Est-ce que Dn et Dp sont aussi des constantes?

Oui ! (je viens de le corriger dans le message précédent)

Quelles sont les conditions aux limites sur les 6 faces du parallélipipède?

Pour certaines zones, on a V imposé (Dirichlet). Pour le reste Neumann (dV/dR=0 où R représente la coordonnée perpendiculaire à la surface).

Pour passer de t=0 à t=0+dt, tu proposes en fait la méthode d'Euler d'ordre 1, qui est fondamentalement instable, surtout avec un système raide (stiff) comme celui sur lequel tu vas tomber. Ta solution va partir dans les choux!

En fait, j'avais proposé RK4 ! Cela devrait converger non ? Par contre, cela m'intéresse de savoir comment tu voies que le système est "raide" ?

[FR119492]

Salut!

Linéaire par rapport à quoi ? A quoi cela servirait

Si c'était linéaire, le théorème de superposition s'appliquerait et tout serait beaucoup plus simple.

En fait, j'avais proposé RK4 ! Cela devrait converger non ? Par contre, cela m'intéresse de savoir comment tu voies que le système est "raide" ?

Ton problème est très proche de celui de Fourier: on plonge un "pavé" froid dans un liquide chaud infiniment conducteur; comment évolue la température T(x,y,z,t) à l'intérieur du pavé? Si on discrétise l'intérieur du pavé, on obtient un énorme système différentiel qui est très raide: en chaque point, la température évolue comme une somme d'exponentielles dont certaines ont une constante de temps assez longue et d'autres extrèmement courtes.

Pour certaines zones, on a V imposé (Dirichlet). Pour le reste Neumann (dV/dR=0 où R représente la coordonnée perpendiculaire à la surface).

Quelles zones? Pour être complet:
Pour x=0 et x=Xmax, Neumann pour V, ??? pour p et n
Pour y=0 et y=Ymax, Neumann pour V, ??? pour p et n
Pour z=0 et z=Zmax, Dirichlet pour V, ??? pour p et n
Corrige et complète.
Jean-Marc Blanc

[Fredchkek]

Bonjour,

Je n'ai pas été très précis sur les conditions aux limites car je voulais traiter un cas général... Les conditions de Dirichlet sur V ne s'appliquent qu'aux endroits que l'utilisateur indique soit, en général, des zones sur les bords de la structure (ce sont les électrodes). Les conditions de Neumann s'appliquent sur tous les bords (sauf s'il y a déjà une condition de Dirichlet).
Il n'y a pas de conditions sur n et p mais sur Jn et Jp : Aux endroits où on applique Neumann les composantes de Jn et Jp perpendiculaires à la surface ne peuvent être orientées vers l'extérieur (=les porteurs de charges ne peuvent pas sortir de la structure à moins que ce soit une électrode).

Pour se fixer un cas simple, on peut fixer Dirichlet sur V en z=zmin et z=zmax. Sur les autres bords de la structure Neumann (sur V) + conditions sur Jn et Jp.

J'ai l'impression que ca se complique ...

[FR119492]

Salut!
Je reviens à tes équations:

1. -e.Laplacien V(x,y,z,t) = k + p(x,y,z,t) - n(x,y,z,t)
2. q. dn(x,y,z,t)/dt = div Jn
3. q. dp(x,y,z,t)/dt = -div Jp
4. Jn = -q.un.n(x,y,z,t).grad(V) + q.Dn.grad(n(x,y,z,t))
5. Jp = q.up.p(x,y,z,t).grad(V) - q.Dp.grad(p(x,y,z,t))

Pour simplifier, je pose:
Ln=Jn/q
Lp=Jp/q
Tes équations deviennent:

1. -e.Laplacien V(x,y,z,t) = k + p(x,y,z,t) - n(x,y,z,t)
2. dn(x,y,z,t)/dt = div Ln
3. dp(x,y,z,t)/dt = -div Lp
4. Ln = -un.n(x,y,z,t).grad(V) + Dn.grad(n(x,y,z,t))
5. Lp = up.p(x,y,z,t).grad(V) - Dp.grad(p(x,y,z,t))

Contrairement à toi, je pense que ce qui est le plus "important", ce n'est pas l'équation 1., mais les équations 2. et 3. . C'est pourquoi je te laisse calculer la divergence de Ln et Lp à partir des équations 4. et 5., puis l'introduire dans les équations 2. et 3.
Bon travail!
Jean-Marc Blanc