Discussion :

[Zavonen]

et que t'as dû vérifier 1million de fois

Honnêtement tu m'as fait douter.
Bon alors, on dit que j'ai raison et que le repère orthonormé est bien celui que je propose.
Dans ce repère, si on prend pour origine A, quelles sont les coordonnées de D ?

[3Dgirl]

Bonjour!

je viens de lire ton message et il m'a fait franchement rigoler. En fait, je me moques de moi-même. J'ai toujours eu de sérieux problèmes avec les calculs même quand le raisonnement était bon. Je croyais que cela avait changé. il faut croire que non

Bon plus sérieusement,
avec A(1,0,0), B(-0.5, racine(3)/2, 0), C(-0.5, -racine(3)/2, 0), et D(0,0,racine(2)) dans le repère (O, I, J, K) de base

tu as crée un nouveau repère local (A, i, j ,k) , qui est je cite:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

i=(-rac(3)/2,1/2,0)  j=(-1/2,-rac(3)/2,0)  k=(0,0,1)

la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle est donc
P =
-rac(3)/2 1/2 0
-1/2 -rac(3)/2 0
0 0 1

la matrice de passage inverse que j'obtiens grâce au pivot de Gauss(Plus sûr) est
P' =
-rac(3)/2 -1/2 0
1/2 -rac(3)/2 0
0 0 1

Maintenant, en multipliant A, B, C et D (dans l'ancienne base) par P' , j'obtiens A', B', C' et D' dans la nouvelle base.

A = (-racine(3)/2, 1/2, 0) B = (0, -1, 0)
C = (racine(3)/2, 1/2, 0), D est inchangé

Où me suis encore gourée?

[Zavonen]

la matrice de passage inverse que j'obtiens grâce au pivot de Gauss(Plus sûr) est
P' =
-rac(3)/2 -1/2 0
1/2 -rac(3)/2 0
0 0 1

Quand la matrice est orthogonale, son inverse c'est simplement sa transposée, tu peux laisser Gauss reposer en paix.
Je reviens pour contrôler ta réponse.

[Zavonen]

Il me semble que la matrice de passage de passage de B à B' c'est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B' dans la base B.

Donc au final je trouve bien P et P' comme toi mais inversées.
http://gilles-dubois.developpez.com/...atpassage.html
Maintenant dans un repère d'origine A, quelle que soit la base les coordonnées de D sont les coordonnées du vecteur vec(AD). Yes ?
Dans le repère d'origine et de centre A, le vecteur AD a pour coordonnées (-1,0,1) Yes ?
Donc j'obtiendrai les coordonnées de D dans le nouveau repère en multipliant la matrice P' (la bonne, la mienne...) par ce vecteur colonne.Yes ?
Donc on trouve:
(rac(3)/2,1/2,1)
C'est à dire que tu t'es encore gourée.
On continue.
Quelle est la forme générale de la matrice d'une rotation vectorielle d'axe (AB) dans la base orthonormale (i,j,k) ?

[3Dgirl]

hihihihihi tu as raison pour les matrices mais t'as faux pour AD

AD avant = (-1, 0, racine(2) )
après (racine(3)/2, 1/2, -racine(2) )

parce que D = (0,0,racine(2))

Bon c'était juste pour qu'on soit d'accord

[Zavonen]

hihihihihi tu as raison pour les matrices mais t'as faux pour AD

Et voilà je m'y mets aussi.

parce que D = (0,0,racine(2))

OUI

après (racine(3)/2, 1/2, -racine(2) )

NON
après (racine(3)/2, 1/2, racine(2) )
Bon, on continue.

[3Dgirl]

D'après wiki, soit U le vecteur directeur unitaire de AB

la matrice de rotation est la suivante:

R00 = Ux^2+(1- Ux^2)*C
R01 = Ux*Uy(1-C)-Uz*S
R02 = Ux*Uz(1-C)+Uy*S

R10 = Ux*Uy(1-C)+U*S
R11 = Uy^2+(1-Uy^2)*C
R12 = Uy*Uz(1-C)-Ux*S

R20 = Ux*Uz(1-C)-Uy*S
R21 = Uy*Uz(1-C)+Ux*S
R22 = Uz^2+(1-Uz^2)*C

où C= cos(alpha) S =sin(alpha)

[Zavonen]

Wiki traite le problème d'une façon très générale. Il faut adapter à notre situation. Si on a tant transpiré pour construire cette base (i,j,k) c'est pour avoir une bonne petite matrice simplette. Si tu ramènes Wiki 'in our kingdom', tu nous casses la baraque.
Pour nous ce sera plus modestement
1 0 0
0 a -b
0 b a

parce que i est invariant et que (j,k) est une base d'un plan orthogonal à i.
Bien sûr a et b sont le cosinus et le sinus d'un angle mais on ne va pas s'angoisser les nerfs avec ça le seul fait important est que a²+b²=1.
Transforme le vecteur AD par cette rotation et calcule les coordonnées de l'image de D (dans le repère (A,i,j,k).

[3Dgirl]

juste avant de calculer, dans notre cas on revient à une rotation d'axe X

et c'est la remarque que j'allais t'envoyer.

à la base, on est parti sur le fait que le coté i (vecteur directeur unitaire du nouvel axe X) serait colinéaire au côté commun aux 2 triangles.

Donc, il est tout à fait normal que la matrice de rotation soit celle par rapport a X, n'est ce pas?

[Zavonen]

Donc, il est tout à fait normal que la matrice de rotation soit celle par rapport a X, n'est ce pas?

OUI !
On a tout fait pour ça.

[3Dgirl]

je ne suis pas allée trop loin dans les calculs mais alpha = +/- 60°

donc AD = (-1, -rac(6), rac(2)/2) ou (-1, rac(6), rac(2)/2 )

[3Dgirl]

Pardon dans la nouvelle base

[3Dgirl]

attends je vérifie que j'ai bien +/-60°

[3Dgirl]

+/-45°

[3Dgirl]

non c'est bien +/-60

[3Dgirl]

j'ai calculé et juste pour D et avec 60° (-3/4, -rac(3)/4, 1)

En gros, ma coordonnée en Z n'est jamais différente de 0

[Zavonen]

mais alpha = +/- 60°

On s'en f....
On n'en a pas besoin.
Calcule les coordonnées de l'image de D dans la rotation dont je t'ai donné la matrice.
Exprime ensuite que cette image doit être dans le plan ABC
Tu trouveras deux équations en a,b
L'une du second degré
L'autre du premier degré.
Tu peux résoudre en (a²,b²) et tu trouveras une solution.
Pour (a,b) cela te donnera 4 solutions.
Sur les 4 tu vas en rejeter 2 parce qu'elle ne satisfont pas l'équation du premier degré.
Il t'en restera deux.
Comment choisir la bonne ?
Tu diras que C et D doivent être de part et d'autre de la droite (AB).
Or par le procédé de Schmidt C a toujours une ordonnée positive dans (A,i,j,k)
Il faudra donc que tu conserves le couple (a,b) pour lequel l'image de D a une ordonnée négative.
Et à la fin des fins tu as ta matrice, tu as ta rotation, tu n'as plus qu'à transformer D par cette rotation, puis tu recommences avec le triangle ACD
puis avec avec BCD
et c'est fini.

[3Dgirl]

excuses-moi mais je ne comprends pas ce que tu veux dire quand tu dis:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

Exprime ensuite que cette image doit être dans le plan ABC

[Zavonen]

Ben, oui, quand tu 'aplatis' suivant l'arête (AB) tu amènes par rotation le triangle ABD dans le plan du triangle ABC, pour que A'B'D' soit dans le plan ABC, il suffit que D' soit dans le plan ABC, puisque A=A' et B=B'.

[3Dgirl]

oki. je vais donc faire ça