Discussion :

[mlequim]

Hello,

quelqu'un aurait t'il les références d'un bon livre sur les coordonnées de Plücker ? Ce sont des points appartenant à l'espace projectif P^5, et c'est largement utilisé dans les moteurs 3D pour déterminer ce qui est visible ou pas à partir d'une région. J'ai un peu du mal avec certaines parties des articles que je lis car ils ne donnent qu'une brève introduction mathématique et j'aimerais comprendre les algos et pas seulement en avoir une intuition,...

En gros je cherche un livre qui me donnerait plus de détails sur le mapping des droites orientées de R^3 par des points de P^5.

[DrTopos]

Autant que je sache, la 3D se fait dans P^3 (avec 4 coordonnées homogènes) et non pas dans P^5 (qui en demande 6).

Les coordonnées de Plücker d'un sous-espace de dimension 1 dans R^4 sont simplement les coordonnées homogènes (donc dans P^3) d'un point quelconque de ce sous espace autre que 0. L'intérêt des coordonnées de Plücker apparaît quand on considère des sous espace de dimension plus grande que 1. De même que les sous espaces de dimension 1 correspondent à des points de l'espace projectif, les sous-espaces d'une dimension donnée correspondent à des points d'une variété qu'on appelle une 'grassmannienne'. Ces points peuvent être eux aussi repérés par des coordonnées homogènes (deux ensembles de coordonnées représentent le même point si et seulement si elles sont proportionnelles). Pour comprendre ces coordonnées, il est nécessaire de comprendre les puissances extérieures d'un espace vectoriel. J'ai fait un petit topo là-dessus ici. Par exemple, dans le cas de plans de R^4, il faut six coordonnées. C'est le caractère normalisé de ces coordonnées qui en font l'intérêt. Mais le fond de l'affaire en langage moderne est l'algèbre dite 'extérieure'.

N'importe quel livre d'algèbre (ou de géométrie différentielle) niveau Master 1 doit pouvoir faire l'affaire. N'hésites pas à poser d'autres questions.

Après réflexion, j'ai compris pourquoi tu parles de P^5. En fait, il ne s'agit pas de P^5, mais de la grassmannienne G4^2, qui se trouve être difféomorphe à P^5, mais pas de manière canonique, ce qui veut dire que considérer qu'une droite projective de P^3 est un point de P^5 requiert une identification arbitraire entre G4^2 et P^5. Cette identification est très nocive, car elle fait perdre la sémantique des coordonnées. Il y a dans les deux cas 6 coordonnées homogènes, mais elles n'ont pas la même signification géométrique.

[EDIT]
Je me suis trompé ici, G4^2 n'est pas difféomorphe à P^5, mais se plonge seulement dedans. Voir un autre post plus loin. Toutefois, ce que j'ai dit à propos de la nocivité de cette identification reste exact.
[/EDIT]

Tout cela doit te paraître un peu obscur. En fait, ce n'est pas très compliqué mais un minimum de formation en géométrie projective et algèbre extérieure est requis.

[mlequim]

En fait si, les coordonnées de Plücker sont utiles en 3D. Shaun Nirenstein à trouvé pour la première fois une méthode qui permet de pré-calculer la visibilité par régions de manière exacte en O (N^4 LogN), Jiri Bittner à trouvé une autre méthode utilisant des BSP et les coordonnées de Plücker avec +/- la même complexitée. Avant cela les méthodes étaient ou bien inexactes (Portails) ou alors de complexitée trop élevée pour être utilisable en pratique (graphe de visibilité O(N^9)). Elles ont également permis d'accélérer le complexe de visibilité 3D ("?" Durand, puis Xavier Gaoc). Elles permettent aussi d'accélérer la radiosité en aidant à la création de structures codant des informations de visibilité. J'ai les références des thèses qui parlent de tout ça si tu veux.

En fait les coordonnées de Plucker sont en gros utilisées pour calculer des PVS exacts. J'ai tapé les complexite de mémoire, excusez moi si j'ai fait une erreur .

Tu as l'air de bien t'y connaitre, pourais tu me conseiller un bon livre traitant des points projectifs de P^5 et de leur projection dans R^6 ? J'aimerais si possible un livre qui donne des exemples concrèts de cette dualité avec les droites de R^3. Pour P^3 j'ai des infos dans des livres d'informatique (notamment dans le livre de Folley VanDam), mais si tu as une référence plus matheuse je suis pour. Ca fait un petit temps que j'ai plus fait de maths j'aimerais de bonnes références pour m'y remettre

Après réflexion, j'ai compris pourquoi tu parles de P^5. En fait, il ne s'agit pas de P^5, mais de la grassmannienne G4^2, qui se trouve être difféomorphe à P^5, mais pas de manière canonique, ce qui veut dire que considérer qu'une droite projective de P^3 est un point de P^5 requiert une identification arbitraire entre G4^2 et P^5. Cette identification est très nocive, car elle fait perdre la sémantique des coordonnées. Il y a dans les deux cas 6 coordonnées homogènes, mais elles n'ont pas la même signification géométrique.

Tout cela doit te paraître un peu obscur. En fait, ce n'est pas très compliqué mais un minimum de formation en géométrie projective et algèbre extérieure est requis.

en effet, j'ai pas compris grand chose ,

En fait, pour être plus précis les coordonnées de Plücker mappent des droites orientées à des points projectifs de P^5. N'hésite pas à me donner une référence car je suis dans le flou artistique total lol

Je ne pourais pas te confirmer qu'il s'agit de la grasmanienne G^4, mais dans ce que j'ai lu tout les points de P^5 n'étaient pas mappés à des droites réelles de R^3, mais seulement un sous-ensemble.

Peut être que si je te passe les références de la thèse et que tu jettes un coup d'oeil au chapitre sur les maths tu verras mieux ce sur quoi je cherche les infos ?

je me rapelle, ils parlaient du Grassman Manifold ou de l'hyperquadrique de Plucker

[DrTopos]

je me rapelle, ils parlaient du Grassman Manifold ou de l'hyperquadrique de Plucker

Il est bien clair que les grassmanniennes sont au coeur du sujet. Passes-moi toujours les coordonnées de cette thèse pour que je jette un oeil.

Je pense que je vais te donner quelques explications sur ce fil, car au fond ce n'est pas très compliqué (c'est sûr qu'il y a quelques gros mots, mais il faut appeler un chat un chat). Puis-je supposer que tu en sais assez en géométrie projective, et attaquer directement avec quelques éléments d'algèbre extérieure ?

Il me semble que les droites projectives orientées de P^3 sont en bijection avec S^5 et non pas P^5. Un point de P^5 correspond à une droite non orientée. Ceci-dit, pour P^5 et S^5 ce sont les mêmes coordonnées homogènes, sauf que le facteur de proportionnalité des coordonnées est positif dans le cas de S^5.

[mlequim]

Hierarchical Techniques for Visibility Computations
by
Jiˇr´i Bittner
A dissertation submitted to
the Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague,
in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor.
October 2002

=> Ils parlent de ces coordonnées à la section 8.4
8.4 Pl ¨ucker coordinates of lines

en fait, ... je n'ai plus fait de géométrie projective depuis ma première candi,... je ne suis pas sur d'arriver à te suivre,... c'est pour ça que je cherche des livre de référence puor me remettre à niveau, et ensuite pour arriver à comprendre la thèse. Enfin tu peux toujours essayer lol, on verra ce qu'il me reste

ps, je ne connais pas S^5

voici les liens où charger la thèse

Site de Bitnner :
http://www.cgg.cvut.cz/~bittner/diss.html

Lien de sa thèse :

http://www.cgg.cvut.cz/~bittner/publ...s/diss_web.pdf

[DrTopos]

J'ai commencé à regarder cette thèse. Je m'aperçois que je suis allé un peu vite tout à l'heure. P^5 est de dimension 5, alors que G_4^2 est de dimension 4. En fait G_4^2 se plonge dans P^5 et c'est l'image de ce plongement (me semble-t-il) qu'on appelle quadrique de Plücker.

Les grassmanniennes ne sont qu'une généralisation facile des espaces projectifs. La grassmannienne G_n^p (notation en style LaTeX) n'est rien d'autre par définition que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de R^n. Donc, l'espace projectif P^(n-1) est tout simplement le cas particulier G_n^1.

Par exemple, dans R^4, l'ensemble des droites vectorielles est P^3, alors que l'ensemble des plans vectoriels est G_4^2. C'est tout bête.

Maintenant, une droite vectorielle de R^4 est un point dans P^3, et un plan vectoriel dans R^4 est une droite (projective) dans P^3. Comme la 3D se fait dans P^3, il est clair que l'ensemble des droites (non orientées) de la 3D est G_4^2. Les coordonnées (plückeriennes) d'une droite sont donc simplement une façon de représenter un plan vectoriel dans R^4. Et c'est là que l'algèbre extérieure intervient.

Voici comment on peut définir la deuxième puissance extérieure de R^4, notée /\^2(R^4). Considérons le produit cartésien R^4xR^4 et une application bilinéaire alternée:

Code :

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R^4xR^4 ---> E

où E est un R-espace vectoriel quelconque. Appelons une telle application un 'objet'. Soient maintenant f:R^4xR^4 ---> E et g:R^4xR^4 ---> F deux objets. Un 'morphisme' de f vers g est une application linéaire h:E ---> F, telle que h o f = g. On a en fait ce qu'on appelle une 'catégorie' avec ses objets et ses morphismes (encore appelés 'flèches'). Par définition, l'objet ^:R^4xR^4 ---> /\^2(R^4) (appelé 'produit extérieur') est un objet initial dans cette catégorie. Ceci signifie qu'il existe un et un seul morphisme de cet objet vers n'importe quel autre.

Maintenant, prenons une base (e_1,e_2,e_3,e_4) de R^4. En utilisant la définition ci-dessus, on peut montrer que les vecteurs:

Code :

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e_1^e_2, e_1^e_3, e_1^e_4, e_2^e_3, e_2^e_4, e_3^e_4

(qui sont donc les images des couples (e_1,e_2) etc... par le produit extérieur) forment une base de /\^2(R^4), qui se trouve donc être de dimension 6 (et qu'on a donc tendance à identifier à R^6, et donc l'espace projectif correspondant à P^5, mais il faut bien voir que cette identification dépend du choix de la base (e_1,e_2,e_3,e_4), et qu'elle n'est donc pas 'canonique').

Maintenant, quel rapport entre /\^2(R^4) et G_4^2 ? Prenons un élément p de G_4^2, c'est à dire un plan vectoriel de R^4. Dans ce plan choisissons une base (x,y) (x et y sont donc deux vecteurs de R^4). Considérons maintenant le produit extérieur x^y, qui appartient à /\^2(R^4). Dans quelle mesure x^y dépend-il du choix de la base (x,y) ?

En fait, il en dépend très peu. En effet, soit (u,v) une autre base du plan p. On a alors:

Code :

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3
 
u = ax + by
v = cx + dy

où a, b, c et d sont des réels. On peut calculer u^v:

Code :

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u^v = (ax + by)^(cx + dy)
       = ac(x^x) + ad(x^y) + bc(y^x) + bd(y^y) (par bilinéarité de ^)
       = (ad - bc)(x^y) (car le produit extérieur est alterné)

On voit donc que u^v n'est que le produit de x^y par le déterminant de la matrice de passage (qui n'est pas nul évidemment) . Il en résulte que u^v et x^y représentent le même élément de l'espace projectif P(/\^2(R^4)) (dénommé abusivement P^5) associé à /\^2(R^4). Ce sont les coordonnées de ce point de cet espace projectif (il y en a 6) qu'on appelle coordonnées plückeriennes du plan p (ou de la droite projective qu'il représente dans P^3).

L'application qu'on vient de définir de G_4^2 vers P(/\^2(R^4)) n'est pas surjective (d'ailleurs G_4^2 est une variété de dimension 4, alors que P(/\^2(R^4)) est une variété de dimension 5). C'est l'image de cette application qu'on appelle quadrique de Plücker. On peut aussi la définir par des équations, qui se trouvent dans la thèse de Bittner. Ces équations permettent de déterminer si un jeu de coordonnées plückeriennes représente une droite on non.

Il faut noter aussi que les éléments de G_4^2 sont les droites projectives non orientées de P^3. Pour avoir les droites orientées, il faut considérer les plans vectoriels orientés de R^4. Comme on le sait, le déterminant ad - bc ci-dessus est négatif quand la base (u,v) définit l'orientation du plan opposée à celle définie par (x,y). Il en résulte qu'orienter les droite consiste à se placer dans S^5 au lieu de P^5. S^5 est la sphère de dimension 5. C'est à dire qu'au lieu de quotienter R^6 - {0} par la relation x ~ y si et seulement si il existe k non nul tel que x = ky, on demande que k soit positif. Pour les calculs c'est pareil, la seule différence est qu'on change l'orientation de la droite quand on multiplie les coordonnées plückeriennes par un réel négatif. Il ne s'agit plus alors vraiment de coordonnées homogènes au sens de la géométrie projective.

Voila. Il y aurait plein d'autres choses à dire, mais j'espère que ça apporte déjà un éclairage sur la question.

[mlequim]

Alors là milles fois merci !! Tu m'as beaucoup aidé ! Je comprends mieux maintenant ce que Bittner fait. Si je n'abuse pas j'aimerais acheter un livre de référence en géométrie projective qui parle de ce que tu viens de m'exposer, ainsi que d'un en algèbre extérieure. J'ai cherché sur internet mais,... j'ai trouvé des dizaines de références sur la géométrie (que choisir ! ) et aucune sur l'algèbre extérieure

[DrTopos]

Je suis bien en peine pour te conseiller un livre, car j'ai appris toutes ces choses il y a plus de 30 ans dans des livres qui, sans être périmés, ont sûrement eu des successeurs éventuellement mieux faits.

Malgré tout, je crois que 'Algèbre: Cours et Exercices' de Serge Lang (DUNOD) reste un très bon livre qui a d'ailleurs été remis à jour et enrichi depuis l'édition que je possède. Tu y trouveras les éléments d'algèbre extérieure suffisants pour la 3D.

Eventuellement, il serait intéressant de parcourir un livre de géométrie différentielle. La géométrie différentielle fait grand usage d'algèbre extérieure, et surtout en donne une interprétation géométrique. Cela tient au fait qu'une 'forme différentielle' sur une variété n'est pas autre chose qu'un champ de formes multilinéaires alternées, c'est à dire un champ de vecteurs, mais dont les vecteurs appartiennent à une puissance extérieure du dual de l'espace tangent à la variété.

Pour ce qui est de la géométrie projective, le livre 'Géométrie Projective' de Pierre Samuel (PUF) est élémentaire, intuitif et plein de petits dessins. Toutefois, il n'est pas orienté 3D. Je ne sais pas s'il existe un livre de maths spécial 3D parlant de toutes ces choses.

[mlequim]

ces références me suffiront . Ce n'est pas grâve si le livre de géométrie projective n'est pas orienté 3D, le principal c'est qu'il me donne les pré-requis nécessaire pour que je puisse extrapoler à la 3D, ou au moins que je puisse plus facilement comprendre les articles utilisant cela.

Merci encore pour ton aide, je vais me procurer ces références mathématiques puis je relirai la thèse ça devrait aller mieux

[DrTopos]

Après un peu de réflexion et 2 pages de calculs, voici ce que j'ai compris à propos de l'hyperquadrique de Plücker. En particulier on va comprendre pourquoi un jeu de coordonnées plückeriennes (a_12,a_13,a_14,a_23,a_24,a_34) représente une droite de P^3 si et seulement si a_12a_34 - a_13a_24 + a_14a_23 = 0.

Il faut commencer par refaire un peu d'algèbre extérieure. Un espace vectoriel E devient une algèbre quand on le munit d'un produit, c'est-à-dire d'une application ExE ---> E associative et bilinéaire. Par ailleurs, un espace vectoriel E est gradué quand il s'écrit comme une somme directe de sous-espaces: E = E_0 (+) E_1 (+) E_2 (+) E_3 ..., où (+) est la somme directe (qui dans ce cas est la même chose que le produit cartésien). Un élément de E_i est appelé un élément homogène de degré i. Si on met un produit sur un espace gradué pour en faire une algèbre, on demandera que chaque fois que x et y sont des éléments homogènes (de degrés respectif p et q), alors le produit xy soit homogène de degré p+q. On dira alors que E est une algèbre graduée. Une algèbre de polynome (à une ou plusieurs variables) est un exemple d'algèbre graduée.

On notera |x| le degré de l'élément homogène x. L'usage même de cette notation sous-entendra que x est homogène. On a donc, dans une algèbre graduée, |xy| = |x|+|y|. On dira qu'une algèbre graduée est *commutative si yx = (-1)^(|x||y|) xy pour tous éléments homogènes x et y. Autrement-dit, xy est égal à yx quand l'un au moins des deux degrés est pair, et égal à -yx quand les deux degrés sont impairs. Cette définition trouve son origine dans la géométrie. En effet, si vous avez une base d'un espace vectoriel formée de p+q vecteurs, et que vous passez le groupe des p premiers vecteurs après les q derniers, l'orientation de l'espace définie par la nouvelle base est (-1)^(pq) fois l'orientation définie par la base d'origine. Note: ce signe est aussi la signature de la permutation de ces vecteurs. Notez que si x est de degré impair, son carré est nécessairement nul.

Un morphisme de l'algèbre graduée de A vers l'algèbre graduée B est une application linéaire f:A ---> B, qui conserve les degrés des éléments homogènes (|f(x)| = |x|) et qui commute aux produits (f(xy) = f(x)f(y)).

Soit maintenant E un espace vectoriel (réel). L'algèbre extérieure de E est l'agèbre *commutative graduée universelle sur E. Cette définition signifie ceci. Appelons 'objet' toute application linéaire f:E ---> A, où A est une algèbre *commutative graduée, et telle que l'image de f ne contienne que des éléments homogènes de degré 1. Si f:E ---> A et g:E ---> B sont deux tels objets, on appelle morphisme de f vers g, un morphisme d'algèbre h:A ---> B, tel que g = h o f. Par définition, l'algèbre extérieure de E, notée /\^*(E), est un objet initial dans cette catégorie. Autrement-dit, on a une application linéaire i:E ---> /\^*(E), envoyant E dans /\^1(E), telle que pour tout objet g:E ---> B on ait un unique morphisme d'algèbres graduées h:/\^*(E) ---> B, tel que g = h o i. Cette définition définit parfaitement l'algèbre extérieure de E à isomorphisme canonique près.

En pratique, /\^*(E) est la somme directe /\^0(E) (+) /\^1(E) (+)..., où /\^1(E) s'identifie à E, et le produit (appelé 'produit extérieur') envoie /\^p(E)x/\^q(E) dans /\^(p+q)(E). De la définition ci-dessus, on peut déduire que si (e_1,...,e_n) est une base de E, l'ensemble des produits e_i1^...^e_ip, pour lesquels i1 < ... < ip est une base de /\^p(E).

Par exemple, si E = R^3, avec pour base (e_1,e_2,e_3), /\^0(E) est de dimension 1 (avec pour base le produit de rien, élément neutre du produit et donc unité de l'algèbre extérieure), /\^1(E) a pour base (e_1,e_2,e_3), /\^2(E) (qui est de dimension 3) a pour base (e_1^e_2, e_1^e_3,e_2^e_3) et /\^3(E) (qui est de dimension 1) a pour base (e_1^e_2^e_3). Comme il n'y a pas de séquence strictement croissante de plus de 3 indices, /\^p(E) est réduit à zéro pour p > 3.

D'une manière générale, la dimension de /\^p(E) est le coefficient du binôme C_n^p, si E est de dimension n. Remarquons également que cette construction est fonctorielle. Ceci signifie que si f:E ---> F est une application linéaire, elle induit un unique morphisme d'algèbres f_*:/\^*(E) ---> /\^*(F) tel que f^* s'identifie à f en degré 1. En particulier, si f:E ---> E est un endomorphisme linéaire d'un espace de dimension n, l'application linéaire f_*:/\^n(E) ---> /\^n(E) ne peut être que la multiplication par un réel (puisque /\^n(E) est alors de dimension 1). Ce réel est par définition le déterminant de f.

Désormais, nous identifions E avec /\^1(E). Dans le cas de la dimension 3, /\^2(E) est de dimension 3 comme on l'a vu. Si E a pour base (e_1,e_2,e_3), alors /\^2(E) a pour base (e_1^e_2,e_1^e_3,e_2^e_3). Une (detestable) habitude veut qu'on identifie E à /\^2(E) en envoyant e_1 sur e_2^e_3, e_2 sur e_3^e_1 et e_3 sur e_1^e_2. Dès lors, le produit extérieur ^:/\^1(E)x/\^1(E) ---> /\^2(E) devient le produit vectoriel bien connu de tous: ^:ExE ---> E. Vous pouvez le vérifier directement:

Code :

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(ae_1 + be_2 + ce_3)^(xe_1 + ye_2 + ze_3) =
(bz - yc)(e_2^e_3) + (az - xc)(e_1^e_3) + (ay - xb)(e_1^e_2)

Il est bien connu que le produit vectoriel ExE ---> E (E de dimension 3) est surjectif (tout vecteur de R^3 peut être mis sous forme d'un produit vectoriel de deux vecteurs). C'est facile à prouver avec le formalisme ci-dessus. En effet, tout vecteur de /\^2(E) peut s'écrire a(e_1^e_2) + b(e_1^e_3) + c(e_2^e_3). On peut supposer que les coefficients ne sont pas tous nuls (sinon notre vecteur est 0^0 et le problème est résolu), par exemple que b n'est pas nul. On a alors:

Code :

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a(e_1^e_2) + b(e_1^e_3) + c(e_2^e_3) 
=   e_1^(ae_2 + be_3) + (c/b)(e_2^be_3)
=   e_1^(ae_2 + be_3) + (c/b)(e_2^(be_3 + ae_2))
=   (e_1 + (c/b)e_2)^(ae_2 + be_3)

c'est-à-dire un produit extérieur de deux vecteurs.

Ce résultat n'est plus valable en dimension 4, c'est-à-dire que le produit ExE ---> /\^2(E) n'est plus surjectif quand E est de dimension 4. Son image n'est pas un sous-espace vectoriel, car ce produit n'est pas linéaire (il est bilinéaire). En fait cette image est un cône (i.e. stable par multiplication par un scalaire). C'est en fait le cône isotrope d'une forme quadratique, que nous allons voir plus loin, et ce cône s'appelle l'hyperquadrique de Plücker.

Suite dans le prochain post...

Nous voici donc au coeur de notre sujet: l'hyperquadrique de Plücker. Désormais, E est un espace de dimension 4 (disons que c'est R^4. On note (e_1,e_2,e_3,e_4) une base de cet espace choisie une fois pour toutes.

L'espace /\^2(E) est donc de dimension 6, avec pour base:

Code :

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(e_1^e_2,e_1^e_3,e_1^e_4,e_2^e_3,e_2^e_4,e_3^e_4)

et l'hyperquadrique de Plücker est (disons par définition, car il en faut bien une) l'image du produit extérieurExE = /\^1(E)x/\^1(E) ---> /\^2(E).

Considérons par ailleurs le produit extérieur /\^2(E)x/\^2(E) ---> /\^4(E). On sait que /\^4(E) est de dimension 1, avec pour base (e_1^e_2^e_3^e_4), ce qui permet de l'identifier à R. On peut donc considérer ce produit comme une forme bilinéaire sur /\^2(E), laquelle est d'ailleurs symétrique car les éléments de /\^2(E) sont homogènes de degré pair. Notons f cette forme bilinéaire.

La condensation de f, c'est à dire l'application de /\^2(E) vers R qui envoie x sur f(x,x), est alors (par définition) une forme quadratique, que nous noterons q, et dont f est la forme polaire. Cette forme quadratique consiste tout simplement à prendre le carré extérieur d'un vecteur de /\^2(E).

Considérons maintenant le composé suivant:

Code :

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ExE ---> /\^2(E) ---> R

où la flèche de gauche est le produit extérieur, et où celle de droite est q. Cette composition est nulle. En effet, partons avec deux vecteurs x et y. Par la première flèche on obtient: x^y, et par la deuxième x^y^x^y (R a été identifié à /\^4(E)). Or x^y^x^y = -x^x^y^y = 0^0 = 0.

Par ailleurs, q n'est pas nulle. En effet, par exemple:

Code :

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q(e_1^e_2 + e_3^e_4)
=   f(e_1^e_2 + e_3^e_4,e_1^e_2 + e_3^e_4)
=   q(e_1^e_2) +2f(e_1^e_2,e_3^e_4) + q(e_3^e_4)
=   2(e_1^e_2^e_3^e_4)
!=   0

Il en résulte que le produit ExE ---> /\^2(E) n'est pas surjectif, puisque son image est contenue dans l'ensemble des x de /\^2(E) tels que q(x)=0, c'est-à-dire que son image est faite de vecteurs isotropes de q.

On va montrer maintenant réciproquement que tout vecteur isotrope de q est dans l'image du produit. Soit donc x un tel vecteur. A priori, x est combinaison linéaire de 6 produits extérieurs: e_1^e_2,...,e_3^e_4, et il s'agit de montrer qu'il est le produit extérieur de deux vecteurs. Remarquons d'abord qu'on peut réduire le nombre de termes dans notre combinaison linéaire en regroupant un peu les termes:

Code :

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x = a(e_1^e_2) + b(e_1^e_3) + c(e_1^e_4) + u(e_2^e_3) + v(e_2^e_4) + w(e_3^e_4)
   = e_1^(ae_2 + be_3 + ce_4) + e_2^(ue_3 + ve_4) + e_3^(we_4)

On a maintenant une somme de seulement trois produits extérieurs.

Remarquons que les deux derniers termes e_2^(ue_3 + ve_4) et e_3^(we_4) sont construits à partir de vecteurs appartenant au sous espace F de dimension 3 de E engendré par les vecteurs e_2,e_3,e_4. En conséquence, la somme e_2^(ue_3 + ve_4) + e_3^(we_4) peut être vue comme un vecteur de /\^2(F), et est donc un produit extérieur de deux vecteurs de F (surjectivité du produit extérieur pour la dimension 3). Il ne nous reste donc plus qu'une somme de deux produits extérieurs, qu'on va noter désormais x^y + u^v.

Par hypothèse, le carré extérieur de cette expression est nul. Or ce carré extérieur est q(x^y + u^v) = 2(x^y^u^v), c'est à dire 2 fois le déterminant du système de vecteurs (x,y,u,v). Ces quatre vecteurs forment donc un système lié, et engendrent un sous-espace G de dimension au plus 3 dans E.

Il en résulte que x^y + u^v habite dans /\^2(G) et est donc un produit extérieur de deux vecteurs de G (toujours la surjectivité pour la dimension 3). C'est ce qu'il fallait démontrer.

On sait donc maintenant que l'hyperquadrique de Plücker est exactement l'ensemble des vecteurs isotropes de la forme quadratique q (ce qui justifie son nom d'hyperquadrique, c'est à dire de conique généralisée).

Ecrivons maintenant la formule qui donne q(x) quand x est écrit comme combinaison linéaire des 6 vecteurs de base:

Code :

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x = a_12(e_1^e_2) + a_13(e_1^e_3) + a_14(e_1^e_4) + a_23(e_2^e_3) + a_24(e_2^e_4) + a_34(e_3^e_4)

Quand on élève au carré extérieur, on trouve:

Code :

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x^x = (a_12a_34 - a_13a_24 + a_14a_23)(e_1^e_2^e_3^e_4)

Il s'en suit que a_12a_34 - a_13a_24 + a_14a_23 = 0 est l'équation de l'hyperquadrique de Plücker, c'est à dire la condition nécessaire et suffisante pour être dans l'image du produit extérieur ExE ---> /\^2(E), autrement-dit (comme on l'a vu dans un précédent post) la condition nécessaire et suffisante pour que le jeu de coordonnées (homogènes) plückeriennes (a_12,a_13,a_14,a_23,a_24,a_34) représente une droite (projective) de P^3.

Conclusion pour la 3D: la détermination d'une droite dans l'espace n'a que 4 degrés de liberté (puisque la grassmannienne G_4^2 est de dimension 4). Elle est pourtant représentée par un jeu de 6 coordonnées. Les deux conditions qui réduisent les degrés de liberté de 6 à 4 sont: (1) le fait que les coordonnées sont homogènes (la multiplication de toutes les coordonnées par un même facteur réel ne change pas la droite), (2) la condition de Plücker ci-dessus.

Il reste à voir que le plongement de G_4^2 dans /\^2(E) est injectif (c'est à dire que deux droites distinctes ont des coordonnées plückeriennes non proportionnelles, ce qui justifiera d'ailleurs l'emploi du mot 'plongement'). C'est facile. Supposons que deux droites projectives, c'est-à-dire deux plans vectoriels de E aient des images proportionnelles dans /\^2(E). Soient (x,y) et (u,v) des bases de ces plans. On aura x^y = k(u^v) avec k réel. Comme x^x^y = 0, on aura x^u^v = 0, ce qui signifie que x est dans le plan déterminé par u et v. Il en va de même pour y, et les deux plans sont confondus.

Voila. J'espère que ce petit topo est facilement compréhensible (merci pour votre attention) et qu'il aidera les developpeurs 3D à manipuler plus facilement les droites dans l'espace.

[mlequim]

alors là tu peux être sur que tu en as aidé au moins un ! j'ai commencé à relire la thèse, les éméments que je ne comprenais pas ou qui étaient flous deviennent beaucoup plus clair avec tes explications !

Milles mercis, je vais pouvoir passer à la pratique .

[DrTopos]

Pas de quoi. N'hésites pas à poser d'autres questions. Je suis sûr que tout n'a pas été dit sur ce sujet.