Discussion :

[watcherFR]

Bonjour, je cherche à connaître l'état de l'art sur le problème que je vais décrire ci-après. A défaut d'état de l'art, une aide sur la "mise en équation" ou une liste de sujets mathématiques/algorithmique qui pourraient me servir de pointeur m'aiderait beaucoup.

Le problème:
Soit un champs vectoriel dans le plan qui varie dans le temps J'ai des mesures aléatoire du champs, ces mesures sont bruitées (à la fois en position et en intensité) sans que je puisse décrire la distribution. Ces mesures sont doublement aléatoires :
i) elles ne concernent pas une particule que je serais en train de suivre dans le temps [quoique si çà simplifiant énormément le traitement, on pourrait le considérer],
ii) les mesures peuvent s'appliquer à n'importe quel point du champs avec une distribution non-uniforme

Ce que je veux
Trouver une représentation numérique de la direction et de l'intensité de tout le champs

Simplifications
Je sais que les directions des vecteurs de chaque point sont stables indépendemment du temps donc on peut laisser le temps de côté. Les intensités varient en fonction du temps mais pour les besoins de l'algorithme, je peux prendre des tranches de temps tels que les intensités soient supposées stables.

Spatialement, les vecteurs sont variables et en général "ressemblent" à leurs voisins. Ce n'est cependant pas général : je peux avoir deux vecteurs très proches mais dont les intensités ou la direction sont totalement décorellées, je ne peux pas décrire à priori ces surfaces singulière (discontinues ? est-ce le bon terme).
La définition que deux vecteurs "se ressemble" est que leur produit scalaire normalisé est supérieur à X avec, par exemple X=0.75

La solution que j'imagine
J'aimerais "discrétiser" mon plan en un maillage. Dans chaque maille, j'aurai le vecteur "moyen" qui correspond.
Je voudrais que mon maillage converge avec le nombre de mesures (à temps constant) [pour éviter une "respiration" : élargissement et retrecissement des mailles en fonction des nouvelles mesures] et je voudrais que l'algorithme converge vers un maillage avec un nombre minimum de mailles.

Je pense que je peux trouver un algo qui créé des mailles de plus en plus petites mais çà ne converge donc pas...

Je presens que l'algorithme, s'il existe, est à chercher du côté des méthodes de monte carlo, réseau bayesiens, analyses en composants principals et segmentation mais j'ai du mal à transformer mon besoin en langage mathématique pour naviguer dans les concepts.

Quelqu'un a des idées ? Merci

[FR119492]

Salut!
J'essaie de reformuler ton problème pour m'assurer que j'ai bien compris et je l'assortis de quelques questions supplémentaires:

Tu considères un domaine du plan Oxy. Dans ce domaine, tu as un champ vectoriel fonction de la position et du temps, c'est-à-dire dont les composantes sont Vx(x, y, t) et Vy(x, y, t). Pour certains triplets (x, y, t), tu disposes de valeurs mesurées de Vx et Vy. Les points de mesure sont répartis de manière non systématique dans le domaine et leur position se déplace d'un instant à l'autre.

Alors:

• As-tu d'autres informations sur ton champ vectoriel: est-il à divergence nulle? est-il irrotationnel?
• As-tu des informations sur les conditions aux limites sur le pourtour?
• Est-ce que tes points de mesure sont sur les noeuds d'une grille?
• Comment tes mesures sont-elles réparties dans le temps: par rafales ou d'une manière aléatoire?

D'autres questions suivront vraisemblablement.
Jean-Marc Blanc

[watcherFR]

Salut!
J'essaie de reformuler ton problème pour m'assurer que j'ai bien compris et je l'assortis de quelques questions supplémentaires:

Tu considères un domaine du plan Oxy. Dans ce domaine, tu as un champ vectoriel fonction de la position et du temps, c'est-à-dire dont les composantes sont Vx(x, y, t) et Vy(x, y, t). Pour certains triplets (x, y, t), tu disposes de valeurs mesurées de Vx et Vy. Les points de mesure sont répartis de manière non systématique dans le domaine et leur position se déplace d'un instant à l'autre.

Bonjour Jean-Marc,
C'est exactement cela.

Alors:

• As-tu d'autres informations sur ton champ vectoriel: est-il à divergence nulle? est-il irrotationnel?
• As-tu des informations sur les conditions aux limites sur le pourtour?
• Est-ce que tes points de mesure sont sur les noeuds d'une grille?
• Comment tes mesures sont-elles réparties dans le temps: par rafales ou d'une manière aléatoire?

Je dois revenir aux interprétations géométriques pour répondre.

• Si je reprends l'interprétation à http://fr.wikipedia.org/wiki/Divergence_(mathématiques) de la divergence (égalité entre le flux à travers le bord d'un domaine et intégrale sur le domaine de la divergence) alors, si le champ est à divergence nulle alors l'intégrale sera nulle et donc le flux à travers tout bord de domaine est nul. Si je comprends donc bien (la prépa c'est loin...), "divergence = nulle partout" => conservation des flux dans tout morceau du plan. Ce ne sera pas le cas : j'aurai des puits et des sources un peu partout et d'intensités trop faibles pour les matérialiser.
• Je peux reprendre à mon compte l'analogie d'un champ vectoriel de vitesse autour d'une tornade (http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel) pour intuiter que le rotationel sera non-nul en de nombreux points
• Si çà simplifie beaucoup l'analyse, je peux poser comme conditions aux limites qu'il existe ("très loin là-bas...") un bord de mon plan à travers lequel le flux est nul mais çà sera une approximation.
• Si tu parles d'une grille à priori et sans rapport avec la numérisation de vitesses et direction, la réponse est non. Je n'ai pas aujourd'hui de grille ou de référence à priori.
• Les mesures seront absolument aléatoire en revanche, leur distribution ne sera absolument pas uniforme dans le temps.

Le champ à estimer varie dans le temps de manière que je vais approximer comme répétitive. Par exemple, je vais considérer qu'à une fréquence f, le champ à toujours la même tête. Du coup, mon idée est de prendre des "photos" du champs à une fréquence s>>f. Ainsi, je compte consolider les mesures sur plusieurs cycles 1/f par segments de temps 1/s<<1/f. Je sais d'avance donc que les mesures seront réparties de manière inégales entre les segments. Par contre, pendant un segment je pense que le nombre de mesures sera similaire à chaque cycle 1/f.

A ta dispo pour d'autres questions