Discussion :

[info_amel]

Bonsoir,

D'abord il faut signaler que je suis novice dans le domaine de traitement d'image donc ça se peut que mes questions seront banales

En fait, je suis entraine d'implémenter un algorithme d'alignement dont le principe est :

on a deux images T et I . et une transformation W(p1,...pn) de n paramètres. tel que I=W(T) . (par exemple W peut être une translation)

L'algorithme prend T et I comme entré et donne W comme résultat.

Pour faire ça il faut à une certaine étape calculer le jacobien de W noté :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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dW     |dWx/dp1   dWx/dp2.... dWx/dpn|
----=  |
dp     |dWy/dp1   dWy/dp2.... dWy/dpn|

et calculer la matrice hessienne :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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    |d²I/dx²   dI/dx dI/dy|
H =|
    |dI/dx dI/dy   d²I/d²y|

j'ai compris comment calculer ça mathématiquement mais j'arrive pas à comprendre comment le faire sur les image ou la transformation que j'ai !!!

Merci d'avance de me faire comprendre

[pseudocode]

Il faut utiliser les formules de dérivations discrètes.

1er ordre

dI/dx = ( I(x+1,y) - I(x-1,y) ) / 2
dI/dy = ( I(x,y+1) - I(x,y-1) ) / 2


2nd ordre

d²I/dx² = ( I(x+1,y) - 2*I(x,y) + I(x-1,y) ) / 4
d²I/dy² = ( I(x,y+1) - 2*I(x,y) + I(x,y-1) ) / 4
d²I/dxy = ( I(x+1,y+1) - I(x-1,y+1) - I(x+1,y-1) + I(x-1,y-1) ) / 4


Et de même pour W

dWx/dp1 = ( Wx(p1+epsilon,...) - Wx(p1-epsilon, ...) ) / 2*epsilon

[info_amel]

Bonjour, merci pour ta réponse

concernant la matrice hessienne . est ce que je peux utiliser directement les valeur de gradient de l'image? parce que j'ai calculer le gradient de l'image I par le filtre "Sobel". et je posède deux matrices : une pour le gradient en x et l'autre pour le gradient en y.
Donc est ce que je peux remplir la matrice hessienne comme cela ?:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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float t[2];
t[0]= grad_en_x[x,y]; //valeur du gradient en x dans le point (x,y)
t[1]= grad_en_x[x,y];//valeur du gradient en y dans le point (x,y)
for ( int i=0;i<2;i++)
{
   for ( int j=0;j<2;j++)
     H[i,j]=t[i]*t[j];
}

et concernant le jacobien !! je n'ai pas compris ce que tu m'as dis
W est une matrice de transformation , comment j'applique ce que tu m'as écris ?

J'espère que j'ai bien exprimé mon problème

[pseudocode]

Donc est ce que je peux remplir la matrice hessienne comme cela ?:

Non. La dérivée seconde ce n'est pas le carré de la dérivée première.

et concernant le jacobien !! je n'ai pas compris ce que tu m'as dis
W est une matrice de transformation , comment j'applique ce que tu m'as écris ?

Bah, tu appliques la formule de dérivation pour chaque paramètre.

Si tu nous donnais un exemple de matrice W, et de la formule utilisée pour calculer W(T) ?

[info_amel]

Non. La dérivée seconde ce n'est pas le carré de la dérivée première.

D'accord , alors j'applique le filtre sobel 2 fois en x pour obtenir d²I/dx²?
c'est à dire :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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grade_en_x = sobel_en_x(I);
grade_en_x2=sobel_en_x(grade_en_x)

et je l'applique une fois en x et autre en y pour obtenir dI/dx dI/dy ?
c'est à dire :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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3
 
grade_en_x = sobel_en_x(I);
grade_en_xy=sobel_en_y(grade_en_x)

Si tu nous donnais un exemple de matrice W, et de la formule utilisée pour calculer W(T) ?

W peut avoir plusieurs forme par exemple :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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Translation :
     |1  0  xt |
w= |0  1  yt |    (xy,yt) le pas de translation en x et y
     |0  0  1  |

Donc chaque pixel p(x,y) de T est multiplié par W pour trouver ces nouvelles coordonnées dans l'image W(T).

donc si (xt,yt)=(2,30) alors après la multiplication de chaque pixel de T par W en trouve une image (T1=W(T)) qui est la similaire à T mais dont les pixels sont décalés de 2 en x et de 30 en y.

noter que W peut être une rotation, changement d'échelle....

En tous les cas l'algorithme s'appelle "Lucas et Kanade" il est utilisé pour l'alignement des image et aussi pour le suivi et autres... (En sait jamais tu as une idée sur ça)

[pseudocode]

D'accord , alors j'applique le filtre sobel 2 fois en x pour obtenir d²I/dx²?
et je l'applique une fois en x et autre en y pour obtenir dI/dx dI/dy ?

Oui, comme ça cela marche. D'ailleurs on obtient au final les memes formules que j'ai donnée.

W peut avoir plusieurs forme par exemple :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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Translation :
     |1  0  xt |
w= |0  1  yt |    (xy,yt) le pas de translation en x et y
     |0  0  1  |

Donc chaque pixel p(x,y) de T est multiplié par W pour trouver ces nouvelles coordonnées dans l'image W(T).

Ok. C'est donc une matrice de transformation 2D en coordonnées homogènes (x,y,s).

Wx = 1*x + 0*y + xt = x + xt
Wy = 0*x + 1*y + yt = y + yt
Ws = 0*x + 0*y + 1 = 1

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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            |dWx/dxt   dWx/dyt|
   dW       |                 |
-------  =  |dWy/dxt   dWy/dyt|
d(xt,yt)    |                 |
            |dWs/dxt   dWs/dyt|

on calcule (ou on approxime) les termes de la matrice.

Ici, c'est facile

dWx/dxt = d(x + xt) / dxt = 1
dWy/dxt = d(y + yt) / dxt = 0
...

Ce qui nous donne

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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            |1  0|
   dW       |    |
-------  =  |0  1|
d(xt,yt)    |    |
            |0  0|

[info_amel]

Merci beaucoup pour ta réponse j'ai bien compris le jacobien

Concernant la matrice hessienne maintenant le document que je lis donne une autre définition de la matrice hessienne (c'est pour cela que j'ai pensé à la première solution qui consiste à faire le carré de la dérivée) .

Bref :
dans Wikipedia : j'ai ça :

En mathématiques, la matrice hessienne d'une fonction numérique f est la matrice carrée, notée H(f), de ses dérivées partielles secondes.

Donc le calcul doit être comme tu m'as dis.

Alors que dans le document que j'ai , la matrice hessienne est plutôt définie comme il est montré dans l'image attachée.
et dans ce cas elle doit être (à mon avis) calculé par produit !!!

Merci de voir l'image et me dis est ce que c'est la même définition de la matrice ou quoi exactement ?!

je te remercie pour ton aide précieuse

[pseudocode]

Alors que dans le document que j'ai , la matrice hessienne est plutôt définie comme il est montré dans l'image attachée.
et dans ce cas elle doit être (à mon avis) calculé par produit !!!

Merci de voir l'image et me dis est ce que c'est la même définition de la matrice ou quoi exactement ?!

Hum... Ce qui est sûr c'est que la définition de wikipedia est bonne.

Pour ta formule, je ne sais pas si elle donne, au final, le meme résultat que celle de wikipedia. Dans le doute, je prendrai les formules que je t'ai donné.

[info_amel]

peut tu s'il te plait jeter un coup d'œil sur l'image attachée ici :

http://www.developpez.net/forums/d91...e-luca-tomasi/

elle contient les étapes que j'ai entraine de suivre... Pour être sur si se qui est demandé de calculé est vraiment la matrice hessienne !!!

[pseudocode]

peut tu s'il te plait jeter un coup d'œil sur l'image attachée ici :

http://www.developpez.net/forums/d91...e-luca-tomasi/

elle contient les étapes que j'ai entraine de suivre... Pour être sur si se qui est demandé de calculé est vraiment la matrice hessienne !!!

Dans le papier original, ce n'est pas la Hessienne mais le carré de la dérivée (et donc ta formule est bonne).

[info_amel]

mmm merci pour cette information. Mais le document que j'ai :
http://grvc.us.es/staff/ferruz/maste...cas_kanade.pdf

et même dans les site je trouve toujours que son nom est la matrice hessienne !!!!

en tous les cas en rédigeant le rapport donc est ce que je note H comme matrice hessienne?!!! (juste ton avis)

[pseudocode]

mmm merci pour cette information. Mais le document que j'ai :
http://grvc.us.es/staff/ferruz/maste...cas_kanade.pdf

et même dans les site je trouve toujours que son nom est la matrice hessienne !!!!

en tous les cas en rédigeant le rapport donc est ce que je note H comme matrice hessienne?!!! (juste ton avis)

Tu peux la noter comme matrice hessienne "de Lucas Kanade". Parce que ce n'est ni la hessienne de l'image, ni celle de la transformation, mais d'un mélange des deux.

[info_amel]

Merciiii bien pour tes réponses

c'est résolu