Discussion :

[Clotilde]

Bonjour,
Voici un cas de probabilite statistique que je voudrais resoudre :

Un agriculteur souhaite prévoir le mauvais temps. Pour cela il consulte la météo nationale qui se trompe deux fois sur cent. Il souhaite avoir confirmation des prédictions météo et utilise aussi une grenouille qui se trompe une fois sur vingt.
La météo nationale annonce un temps pluvieux alors que la grenouille a un comportement laissant prévoir du beau temps.
1-Déterminer la probabilité pour qu'il fasse beau.
2-Quel sera le temps le plus probable ?

Merci de m'apporter vos lumieres

[kwatz]

Dans un cas comme ça, je ferais simplement un arbre à 4 branches, et je calculerais les probas associées.

ca donnerais:
19/20*2/100 = 19/1000 grenouille ok, meteo fausse
19/20*98/100 = 931/1000 G ok, M ok
1/20*2/100 =1/1000 G fausse, M fausse
1/20*98/100 =49/1000 G fausse, M ok

[SpiceGuid]

@kwatz

Si j'ai bien suivi ton raisonnement, si ½ je fais pile et ½ je fais face alors ¼ je fais pile et face même avec une seule pièce

[Clotilde]

Voila comment j'ai evolue.


Soient M désignant la météo et G la grenouille.
pM=98/100 et qM=2/100
pG=19/20 et qG=1/20
Les différentes possibilités de consultations sont :
FAUX,FAUX : on a (1/20)*(2/100)=2/2000
FAUX,VRAI : on a (1/20)*(98/100)=98/2000
VRAI,FAUX : on a (19/20)*(2/100)=38/2000
VRAI,VRAI : on a (19/20)*(98/100)=1862/2000

a) Déterminons la probabilité pour qu’il fasse beau
Pour qu’il fasse beau, il faut que G ait comme valeur vrai, donc que l’on ait l’un des couples (VRAI,FAUX) ou (VRAI,VRAI)

P(a)= P[(VRAI,FAUX)]+P[(VRAI,VRAI)]
=(38/2000)+(1862/2000)
=1900/2000

P(a)=1900/2000

b) Déterminons le temps le plus probable
Pour cela, calculons la probabilité pour que le temps soit pluvieux c’est-a-dire que M soit vrai. Il faudra donc avoir l’un des couples (FAUX,VRAI) ou ( VRAI,VRAI)
P(b)= P[(FAUX,VRAI)]+P[(VRAI,VRAI)]
=(98/2000)+(1862/2000)
=1960/2000

P(b)=1960/2000

Comparons P(a) et P(b).
P(b)>P(a) donc il est plus probable que le temps soit pluvieux.

[laly94]

Salut,


Vous supposez implictement qu'il n'y a pas de correlation entre les predictions de la météo et de la grenouille...

Laly.

[Zavonen]

Je crois que le pb est indéterminé:
Considérons les évènements suivants:
B: Il fait beau
P: Il pleut
GB: La grenouille a prédit qu'il fera beau
GP: La grenouille a prédit qu'il pleuvra
MB: La météo a prédit qu'il fera beau
MP: La météo a prédit qu'il pleuvra
Notons que si P(B)=x alors P(P)=1-x
si P(GB)=y alors P(GP)=1-y
si P(MB)=z alors P(MP)=1-z
Il y a donc fondamentalement 3 inconnues x, y et z
Comment traduire la donnée ?
Pour la grenouille x(1-y)+(1-x)y=1/20 soit x+y-2xy=0.05
Pour la météo x(1-z)+(1-x)z=2/100 soit x+z-2xz=0.02
On a donc un système de deux équations à 3 inconnues.
Or la question qui est posée est:
Quelle est la valeur de xy(1-z) ?
A cette question on peut répondre si on connait au moins une des 3 variables, ou bien une relation supplémentaire entre elles.
C'est d'ailleurs facile à comprendre. A priori les prédictions de la grenouille et de la météo ne sont pas corrélées. Il se peut que la grenouille concentre ses erreurs sur le temps de pluie, bref qu'elle ne se trompe jamais sur le pronostic de beau temps. Dans ce cas avec un pronostic défavorable de la météo à 98% on est sûr qu'il fera beau si la grenouille le dit.

OUPS ! mes équations sont fondées sur des calculs de probas d'événements indépendants, or si la météo et la grenouille ne se trompent que si peu c'est qu'il y a évidemment une corrélation entre le temps qu'il fait et leur prédiction. A oublier donc ...