Discussion :

[SKone]

Bonjour je suis de retour pour vous jouez un mauvais tour
Non plus sérieusement j'aurais besoin d'aide. Je fais un DM de math et la dernière question est vraiment ardu à mes yeux. J'espère qu'elle ne le sera pas à vos yeux pour que vous puissiez m'aider.

Question :

Je cherche à montré que :

est solution sur ]-inf; +inf[ de 4*x*y''+6y'+y=0

Merci

[millie]

Je repète ce que j'ai dit sur le chat.

Il faut calculer :

4*x*y''+6y'+y en remplaceant y par phi et montrer que ça fait 0.

Pour cela, il faut tout d'abord montrer que tu peux permuter la somme et la dérivée (une fois pour phi', une autre fois pour phi'') (au passage, tu montreras que phi est dérivable 2 fois).
Pour cela, il faut utiliser les théorèmes classiques sur les séries de fonction (ici série de fonction entières). Je crois qu'il y a un théorème tout fait pour ça, mais je m'en rappelle plus

[Zavonen]

Je crois qu'il y a un théorème tout fait pour ça, mais je m'en rappelle plus

Le théorème en question dit que si la série entière dérivée (obtenue en dériveant terme à terme) converge, alors la série initiale est dérivable et sa dérivée est justement cette somme.

[millie]

Le théorème en question dit que si la série entière dérivée (obtenue en dériveant terme à terme) converge, alors la série initiale est dérivable et sa dérivée est justement cette somme.

C'est terrible ce qu'on oublie vite



(enfin, le principal étant que je me rappelle que l'on ne peut pas permuter n'importe comment et qu'un théorème existe quelque part pour prouver que l'on peut)

[grishka]

oui je crois aussi qu'il faut montrer que c'est dérivable sur l'intervalle, donc montrer que le rayon de convergence R=inf (avec le théorème de d'alembert par exemple).
A+

[Zavonen]

oui je crois aussi qu'il faut montrer que c'est dérivable sur l'intervalle, donc montrer que le rayon de convergence R=inf (avec le théorème de d'alembert par exemple).

Le théorème cité vaut pour les séries de fonctions quelconques. Pour les séries entières c'est encore plus simple: la série initiale et sa dérivée ont même rayon de cv.

[titourock]

Désolé de reposter bien après mais :

Pour cela, il faut tout d'abord montrer que tu peux permuter la somme et la dérivée

Non, il faut démontrer en tout premier que phi existe et examiner son rayon de convergence (critère de d'Alembert cité plus haut ou bien plus simplement le "critère" des séries alternées...)

Une fois vérifié le fait que le rayon de convergence est non nul, on a par un théorème "général" que la fonction phi est C_infinie (donc deux fois dérivables donc dérivable...)
Et le fait que l'on puisse "intervertir" somme et dérivée n'est qu'une conséquence de cela...

[millie]

Non, il faut démontrer en tout premier que phi existe et examiner son rayon de convergence (critère de d'Alembert cité plus haut ou bien plus simplement le "critère" des séries alternées...)

En fait, j'avais consideré que c'était acquis car la notation de somme infini était déjà utilisé (puisque la notation de somme infini n'a pas de sens si cela n'a pas déjà été démontré).

Mais sinon, je suis tout à fait d'accord