Discussion :

[stkrist]

Bonjour,

J'ai programmé sur Matlab la méthode des déplacements pour un portique bi-encastré avec un force horizontale appliquée à gauche de la traverse.

Aprés avoir déroulé les calculs formels, les efforts obtenus au pied des poteaux sont faux. Cependant, quand je remplace directement les variables par des valeurs numériques, le programme sort des résultats justes (vérifiés avec un logiciel de calcul).

Je ne comprends pas...

Quelqu'un a t'il déjà rencontré un cas similaire?

[Caro-Line]

Peut-on voir ton code pour avoir une idée d'où peut provenir le problème ?
(peut-être une mauvaise affectation des variables...)

[Antonin08]

bonjour,

Tu dois avoir fait une erreur de calcul, tout simplement

Par contre, c'est ton calcul sur papier ou ta modélisation numérique qui te donne un résultat faux ?

quand je remplace directement les variables par des valeurs numériques

Ce n'est pas la même chose ?

le programme sort des résultats justes

ton programme ?

vérifiés avec un logiciel de calcul

un autre programme ?

[stkrist]

Bonjour,

merci de vous intéresser à mon problème. En fait, j'aimerai beaucoup avoir fait une erreur de calcul...

Voilà mon programme avec le maximum d'explication. Par défaut, il va faire l'application numérique. En changeant les lignes indiquées, on peut peut obtenir les résultats formels.

A la fin, Je compare le moment obtenu par le formulaire avec celui du programme, ainsi que tous les efforts obtenus par le programme avec ceux obtenus par un logiciel de calcul de structure 'RDM6'.

En conclusion,

L'expression du moment en pied du premier poteau est:
Mprogramme=P*h*(2*L*I1+3*I2*h)/(2*I1*L+4*I2*h)

L'expression du moment par un formulaire est:
Mformulaire=P*h*(3*I2*h+I1*L)/((12*I2*h)+(2*I1*L))

Code :

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%variables: E=module de young, L=longueur de la traverse, h=hauteur du poteau
%A1,A2=section des poteaux et de la traverse, I1,I2=inertie des poteaux et de la traverse
%P=force horizontale appliquée au noeud 2
 
 
 
 
 
%Aprés avoir compilé ce programme en expression numérique, on pourra la ligne cidessous:
A1=10.32; A2=10.32; I1=171.01; I2=171.01; L=800; h=400; E=21*10^3; P=1000;
%par:
%syms E L h A1 A2 I1 I2 P;
%Ceci afin de voir que l'expression littérale du moment au pied du premier poteau encastré (avec A1=0 et A2=0, efforts normaux négligés dans les barres),
%ne correspond pas au formulaire.
%ATTENTION, il faut activer la ligne 'Efforts=simplify(Efforts)' à la fin du programme.
 
 
%Matrice élémentaire du premier poteau (dans le repère local).
Kf1 = E*I1/h^3*[12 6*h -12 6*h ; 6*h 4*h^2 -6*h 2*h^2 ; -12 -6*h 12 -6*h ; 6*h 2*h^2 -6*h 4*h^2  ]; %partie flexionnelle
Ka1=E*A1/h*[1 -1 ; -1 1 ]; %partie axiale
Kp1([2 3 5 6 ],[2 3 5 6 ])=Kf1; %assemblage de la partie axiale et flexionnelle
Kp1([1 4 ],[1 4 ])=Ka1;
 
%r1=Matrice de rotation du premier poteau.
r1=[0 1 0 ; -1 0 0 ; 0 0 1];
R1=kron(eye(2),r1);
 
%Kp1=Matrice élémentaire du premier poteau (dans le repère global).
Kp1=(R1)'*Kp1*R1; 
 
 
 
%Kt=Matrice élémentaire de la traverse.
Kf2 = E*I2/L^3*[12 6*L -12 6*L ; 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 ; -12 -6*L 12 -6*L ; 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2  ]; %partie flexionnelle
Ka2=E*A2/L*[1 -1 ; -1 1 ]; %partie axiale
Kt([2 3 5 6 ],[2 3 5 6 ])=Kf2; %assemblage de la partie axiale et flexionnelle
Kt([1 4 ],[1 4 ])=Ka2;
 
 
 
 
%Matrice élémentaire du deuxième poteau (dans le repère local).
Kf3 = E*I1/h^3*[12 6*h -12 6*h ; 6*h 4*h^2 -6*h 2*h^2 ; -12 -6*h 12 -6*h ; 6*h 2*h^2 -6*h 4*h^2  ]; %partie flexionnelle
Ka3=E*A1/h*[1 -1 ; -1 1 ]; %partie axiale
Kp3([2 3 5 6 ],[2 3 5 6 ])=Kf3; %assemblage de la partie axiale et flexionnelle
Kp3([1 4 ],[1 4 ])=Ka3;
 
 
%Matrice de rotation du deuxième poteau.
r3=[0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 1];
R3=kron(eye(2),r3);
 
%Kp3=Matrice élémentaire du deuxième poteau (dans le repère global).
Kp3=(R3)'*Kp3*R3; 
 
 
 
%Assemblage de la matrice globale (repère global).
 
K=zeros(12);
Kr(1:6, 1:6)= K(1:6, 1:6)+ Kp1;
Kr(4:9, 4:9)= K(4:9, 4:9)+ Kt;
km= Kp1(4:6,4:6)+Kt(1:3,1:3);
Kr(4:6,4:6)=km;
 
Kr(7:12, 7:12)= K(7:12, 7:12)+ Kp3;
km2= Kt(4:6,4:6)+Kp3(1:3,1:3);
Kr(7:9,7:9)=km2;
%Kr(à ce stade)= matrice de rigidité gobale de la structure
 
 
%Ci-dessous: Elimination des déplacements impossibles aux appuis encastrés, 
%(c'est à dire les trois déplacements au noeud 1 et 4). 
%on élimine donc les lignes et les colonnes 1,2,3,10,11,12.
 
i=[1, 2, 3, 10, 11, 12 ];
Kr(:,i)=[];
Kf=Kr;   
%Kf = partie de la matrice de rigidité qui exprime les efforts extérieurs aux 4 noeuds, 
%en fonction des déplacements des noeuds 2 et 3.
%(ceci afin de faire le calcul des efforts aprés avoir fait celui des déplacements)
 
 
Kr(i,:)=[];
%Kr = partie de la matrice 'carrée' de rigidité, 
%qui nous permet de calculer les déplacements aux noeuds 2 et 3
 
%F=Matrice colonne des forces appliquées aux noeuds 2 et 3 (efforts nodeaux)
F=[P;0;0;0;0;0] 
 
 
%U= déplacements des noeuds 2 et 3 (on inverse Kr)
U= Kr\F;
%U=simplify(U);
 
%Efforts=  efforts aux appuis 1 et 4 
Efforts=Kf*U;
%Efforts=simplify(Efforts)
 
%(Dans efforts, On retrouve bien les efforts extérieurs appliqués aux noeuds 2 et 3 ).
 
%Les résultats obtenus ici prennent en compte les efforts normaux (présence des sections A1 et A2)
%En éliminant A1 et A2 dans l'expressiondu du moment à l'encastrement du premier poteau (à la ligne 3 de 'Efforts'),
%On doit retrouver la même expression que dans les formulaires. (Les efforts normaux sont en effet trés négligeable).
%Hors, le moment du formulaire est:
Mformulaire=P*h*(3*I2*h+I1*L)/((12*I2*h)+(2*I1*L))
 
%Et le moment calculé par le programme est:
%Mp=(6*h*I1^3*I2*L^2+9*h^2*I2^2*I1^2*L)*h*P/(2*I1*I2*h*(3*I1^2*L^2+6*I1*L*I2*h))
%Soit, (en le simplifiant)
Mprogramme=P*h*(2*L*I1+3*I2*h)/(2*I1*L+4*I2*h)
 
%En appliquant les valeurs numérique au début du programme, on trouve une valeur de Mp abérrante par rapport 
%à celle calculé par 'RDM6' et par ce programme (ligne 3 de 'Efforts').
 
%Les résultats de RDM6 sont:
RDM6=[-500.2; -187.5;125080.3 ; 1000;0;0;0;0;0;-499.8;187.5;124931.3]
%Rappel des résultats du programme:
Efforts

[stkrist]

Finallement,

j'obtiens des résultats numériques justes, ce qui montre qu'il n'y a pas d'erreur dans ce programme.
En revanche, les résultats formels sont faux.

Le calcul symbolique sous Matlab emploie le noyau de maple. On doit donc retrouver les mêmes résultats sous maple.

Aprés avoir programmé cette méthode sous maple, j'obtiens les mêmes résultats, c'est à dire des résultats numériques justes, mais des résultats littérales faux.

Je pense que le problème pourrai se situer lors de l'inversion de la matrice de rigidité en expression littérale. Peut être que je n'emploie pas la bonne commande pour inverser la matrice. Mais je n'ai rien trouvé d'autre sur l'aide de matlab (ou bien de maple).

Quelqu'un a t'il déjà rencontré un problème d'inversion de matrice en expression littérale?

[stkrist]

J'ai oublié de préciser la commande que j'utilise pour inverser la matrice 'Kr' (afin d'obtenir l'expression des déplacements 'U'):
U= Kr\F;