Discussion :

[Mc_easy7]

puissiez vous m'accordez votre aide pour ce projet de modelisation, dont
l'intitule est le suivant :


il s'agit d'etudier la dynamique d'uen population de poissons dans un lac
concerne par une activite de peche .
le comportement du systeme dynamique peut etre decrit verbalement par les
considerations suivantes:

1) Sans l'activite de peche la population de poissons ateignerait un niveau
limite constant qui est determine par la quantite de nouriture qui peut etre
fournie par le lac.

2)Si aucun predateur n'etait present et si la source de nourriture etait
infinie ,la quantite de poissons augmenterait chaque annee d'une quantite
egale a deux fois la population courante

3) le taux de capture des poissons depends de la densite de poissons et du
nombre de bateaux en activite dans le lac.
4) le nbre de bateau en activite depend du revenu de l'activite economique de
la peche
5) le revenu depends du nbre de poissons captures et vendu sur le marche
6)
le revenu est utilise d'abord pour payer les couts lies a la maintenance
des bateaux.la moitie du revenu restant est reinvesti dans l'achat de nouveaux
bateaux tire de l'activite
7) chq annee un certain pourcentage de bateaux en activite a des problemes de
fonctionnement et est retire de l'activite.

modeliser le systeme decrit cidessus par un systeme de deux eqautions
differentielles :
x1 = f1(x1, x2)
x2 = f2(x1, x2)
tel que
x 1 = represente la quantite (en tonnes) de poissons dans le lac
x 2 = le nombre de bateau de peches en activite.
les fonctions f1 et f2 devront etre definies en tenant compte des
considerations qualitatives sur la dynamique du systeme et en utilisants les
parametres suivants :

->la description qualitative du systeme :
A : appartient a [30, 80] [km2]est la surface du lac
C : appartient a [10,50] est la capacite maximale de poisson
KF appartient a [.5, 30] ou KFd quantite de poisson captures par bateau
P appartient a [500, 1500] [EUR] le prix sur le marche d'une tonne de
poisson
Q appartient a [80000, 120000] [EUR] le prix d'un bateau neuf
O appartient a [2000, 3000] le cout annuel de maintenance d'un bateau
D appartient a [1/15, 1/3] pourcentage des bateau retire tout les ans.

Aide : Sur base de la notion d'equation logistique et de la description
qualitative du sysyeme ci dessus ,l'etudiant devra trouver les dux fonctions
fi(A,C,KF,P,Q,O,D,x1,x2) telles que:

xi(t + Dela de t) -xi(t) = fi(.)Delta de t
ou Dela de t est l'interval de temps(exprime en annee)
en particulier si deltade t =1,on obtient:

fi()=xi(t+1an) - xi(t)
les derivees recherches xi(t),i=1,2,.. devraient ensuite etre approhees par
les fonctions fi(.)

mon objectif serait de pouvoir recevoir uneaide de maniere au moins a recevoir
les equations X1 et X2 en fonction de f et f2.

mon probleme se situe au niveau de differntes ques tions :
d'abord a avoir si le bateau est un predateur ce que je doute fort neamoins,
mais j'arrive difficilement a interpreter le sdeux parametres 1) et 2) pour
pouvoir determiner X1: si je suis le modele logistique de la poulation
je vais vers un modele suivant qui me smble realiste mais donc je ne suis pas
sur:

dx/dt=rx(1-(x/k) ou K est la capacite maximale du milieu,et r le taux
d'acroissement
coment pourais je donc interpreter b)?
qt a moi pour l'evolution de la population (est-ce bien interprete au nivaeu 2) )
pour :
t0=1
t1=t0 + 2t0 =3("augmente du double de la qte courante)
t2=3+ 2.3=9
t3=9 + 2.9=27
t4= 27 +2.27=81
tn = 3texp(n+1) ou tn+1=3texp(n+1)

ce taux de croissance devra t-il etre injecte dans r qui est le taux de
croissance je crois qu'on va avoir une exponentielle ?

et enfin coment trouver le nbre de bateaux ?

voile enfin la ou je bute ,j'espre que vous m'accorderz votre aide je vous
remercie

[méphistopheles]

mon problème se situe au niveau de différentes questions :
d'abord a avoir si le bateau est un prédateur ce que je doute fort néanmoins,

Le bateau étant le seul facteur pouvant faire baisser la population de poissons, c'est le seul prédateur.

mais j'arrive difficilement a interpréter les deux paramètres 1) et 2) pour
pouvoir déterminer X1:

il me semble plus raisonnable de chercher à le déterminer en dernier.

commençons par déterminer X2.

KF appartient a [.5, 30] ou KFd quantité de poisson captures par bateau

mais qu'est d ?
d'après ta description, c'est la densité surfacique de poisson, soit d=X1/A
on supposera que KFd est la quantité de poissons capturés à l'année.

P appartient a [500, 1500] [EUR] le prix sur le marche d'une tonne de
poisson
Q appartient a [80000, 120000] [EUR] le prix d'un bateau neuf
O appartient a [2000, 3000] le coût annuel de maintenance d'un bateau
D appartient a [1/15, 1/3] pourcentage des bateau retire tout les ans.

bon, il est donc évident qu'un bateau gagne PKFd euros par ans en salaire brut.
si l'on retire le coup d'exploitation, alors, un bateau gagne PKFd-O euros par mois.
l'argent gagné tous les ans par les bateaux est donc X2(PKFd-O)
s'ils réinvestisse cela en bateau on peut dire en supposant que les bateaux ne font pas de déficit (car on ne sait pas ce qui se passe alors) que X2(t+1)-X2(t)=E[X2(t)(PKFd-O)/Q]-X2(t)D qui est la différence de bateaux d'une année sur l'autre. (J'appelle E[x] la fonction qui à x associe sa partie entière).

on à donc une première équation logistique: X2(t+n)-X2(t)=somme_sur_k_de_0_à_n-1_de(E[X2(t+k)(PKFd-O)/Q)-X(t+k)D])
(où n est un entier)
soit en remplaçant d:
X2(t+n)-X2(t)=somme_sur_k_de_0_à_n-1_de(E[X2(t+k)(PKFX1/A-O)/Q)-X(t+k)D]

On cherche ensuite X1.

on sait:

KF appartient a [.5, 30] ou KFd quantité de poisson captures par bateau

Si X1 est en tonne de poissons, alors:
la quantité de poissons péchée par ans est KFdX2 soit KFX1X2/A

de plus,

2)Si aucun prédateur n'était présent et si la source de nourriture était
infinie ,la quantité de poissons augmenterait chaque année d'une quantité
égale a deux fois la population courante

donc les bateaux étant les seul prédateurs, si on ne tient pas compte de la limite de population: X1(t+1)-X1(t)= 2*X1(t)-KFX1(t)X2(t)/A en négligeant la variation progressive au cours d'une année de la quantité de poisson (on n'a pas les données pour faire autrement).

Nous devons maintenant tenir compte de:

C : appartient a [10,50] est la capacité maximale de poisson

là, je ne vois pas trop comment écrire cette condition à part avec une fonction de Kronecker donc on se contentera de dire que si X(t+n)>C, alors X(t=n)=C

On peut donc écrire :
X1(t+n)-X1(t)=X1(t+k)somme_sur_k_de_0_à_n-1_de[2-KFX2(t=k)/A]

tu à donc maintenant tes deux équations logistiques.
tu peut donc à partir de conditions initiales trouver la valeur pour n'importe quelle années. (sauf si je me suis complètement planté )

salut

[Mc_easy7]

merci celà m'a ouvert ben des horizons ,au niveau de la première equation,il faut prendre en compte l'euation logistique de verhlust

dx/dt = rx1(1 - x1/K) - h(x)
ou r represente le taux d'acroissement de la ressource ,et k la limite de la ressourece et h(x) le prlèvement . par contre je fus bien d'accord su r la deuxime equation sauf quelques paramètresque pas bien compris

fort interessant de m'avoir apporté un raisonnement logique

[FR119492]

Salut.

Ton problème n'est pas nouveau. Je ne suis pas un spécialiste de la question, mais tu devrais essayer de trouver dans les "vieilleries" d'une bibliothèque l'ouvrage "Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie" par Vito Volterra, rédigées par Marcel Brelot (1931). Il y a de bonnes chance que tu y trouves la solution de ton problème.

Bonne lecture.
Jean-Marc Blanc

[Bluedeep]

Ma compagne a fait une thèse sur la dynamique des populations de plancton en milieu marin à méso-echelle.

Le programme de modélisation en Fortran fait 40 000 lignes