bonsoir,

j'utilise la méthode numérique runge kutta de dimension 4 pour résoudre un système de 4 équations différentielles composées chacune de l'addition d'une dérivée seconde d'une des 4 variables de ce système avec des dérivées premieres de ces memes variables. Le but est de modéliser la trajectoire d'un rayon lumineux partant d'une galaxie (géodésiques) dans un univers euclidien (k=0) en expansion.
La métrique de friedmann walker robertson sert à calculer les coeficients (symboles de christoffel) présents dans chacune des équations différentielles.

Ce rayon lumineux part d'une galaxie repérée par r, theta et phi. la 4ème variable est ct (c la célérité de la lumière et t le temps). Chacune de ces 4 variables est paramétré par une variable arbitraire s dans le système d'équations différentielles. les conditions initiales sont déterminantes sur l'interprétation à faire. j'ai choisi : ct=2c/(3Ho) qui vaut à peu près 3000 Mégaparsec, r=dist (distance de la galaxie d'où part le rayon ), theta=pi/2, phi=pi/2 et pour les dérivées: d(ct)/ds=1, d(r)/ds=-1, d(theta)/ds=0 et d(phi)/ds=0.

ceci permet d'avoir d(r)/d(ct)=-1 pour etre sur que le rayon se dirige bien vers notre galaxie (r diminue par rapport au temps). r et ct sont des variables réduites dans le système différentiel, elles s'expriment en Mégaparsec (1 parsec =3.26 année lumière).

Le probleme est le suivant, avec les conditions initiales ci-dessus, le rayon arrive bien dans notre galaxie mais apres, au lieu de s'éloigner et que r se mette à augmenter, r devient négatif et je ne comprends pas pourquoi car en coordonnées polaires, r est tout le temps positif. Par contre, si je change la condition initiale d(theta)/ds (par exemple au lieu de 0, mettre d(theta)/ds=0.0001), r diminue jusqu'à une faible distance de notre galaxie puis augmente, ce qui est le résultat attendu car on a introduit une légère déviation dans le départ du rayon lumineux.
Alors voilà ma question, est-ce un probleme de divergence lié à la méthode runge kutta qui fait que r devient négatif apres avoir dépassé notre galaxie ?

je joins les deux graphiques qui montrent la différence, en abcisse le temps local de notre galaxie exprimé en Megaparsec (ct), en ordonnée la distance de la galaxie qui s'éloigne (trait plein) et celle du rayon lumineux (pointillé).
sur geo_1.pdf, d(theta)/ds=0 et r devient négatif et sur geo_2.pdf, d(theta)/ds=0.000001 et r, apres une diminution, se met à augmenter.
j'ai pris r0=10000 Mégaparsec pour la distance de départ de la galaxie qui nous envoie le rayon lumineux.


Je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.