Discussion :

[romeo2003]

Bonjour

Je lis partout que la loi binomiale peut être approchée par la loi normale (et de Poisson) pour éviter les calculs fastidieux de la loi binomiale. C'était vrai il y a 30-40 ans mais maintenant, avec les ordis, pourquoi serait-ce encore utile?
Tous les tests d'hypothèse sur les proportions que je rencontre sont basés sur cette approximation (grâçe au théorème centrale limite), sauf si n<30, alors on passe au test binomial exact.
Un exemple: une personne prétend posséder un don extra-sensoriel. On lui fait deviner la couleur de 50 cartes, qui sont soit noires, soit blanches. Cette personne en devine 32 correctement. Possède-t-elle ce don extra-sensoriel ou s'agit-il d'une supposition à un niveau significatif de 95% ?

La solution proposée est donnée par approximation de la loi normale en appliquant la correction de continuïté.
H0 : p = 25/50 = 0,5 (il devine)
Ha : p > 0,5 (il a un don)

z = (31,5/50 - 0,5) / racine((0,5*0,5)/50) = 1,84 => H0 est rejeté à 95% puisque 1,84 > 1,645 (valeur critique).

Le test binomial exact donne ceci.
On calcule la probablité que le nombre de succès soit >= 32; avec Excel cela donne =1-BINOM.VERD(31;50;0,5;1) = 0,032 => puisque 0,032 < 0,05 on rejete H0.

Alors pourquoi ne pas utiliser pour les proportions toujours le test binomial exact? 'Exact' est quand même mieux que 'approché', non?

Merci.
Roméo.

[dourouc05]

Ça dépend des applications. Parfois, tu as besoin d'un résultat analytique (notamment si la loi binomiale intervient comme une petite étape dans un calcul bien plus grand ou pour utiliser du code écrit dans un cas similaire — comme une grosse simulation avec une loi normale)… ou quand des étudiants planchent sur un examen papier. Quand tu peux utiliser directement un ordinateur, comme dans ton exemple ou pour inverser la fonction (combien d'expériences faut-il pour rejeter H0 avec un seuil de signification donné ?), autant le faire dès qu'on a les outils informatiques nécessaires.

[mach1974]

En finance , ça permet de donner une extrapolation , car la loi binomiale permet de calculer la prime de la couverture au jour le jour et la loi normal à l'année