booléens et QCM

**sam01** · 26/04/2021, 17h16

Bonjour,

je fais un QCM et j'aimerais comprendre la réponse à cette question sur les booléens.

La question est :

Si A et B sont des variables booléennes, laquelle de ces expressions booléennes est équivalente
à (not A) or B ?

Voici les différentes réponses (j'ai la réponse mais pas les explications) ::

Code :

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A	(A and B) or (not A and B)
B	(A and B) or (not A and B) or (not A and not B)
C	(not A and B) or (not A and not B)
D	(A and B) or (not A and not B)

Si quelqu'un a une explication claire. Merci d'avance.

**wiztricks** · 26/04/2021, 17h51

Salut,

Envoyé par sam01

Si quelqu'un a une explication claire.

Vous pouvez comparer la table de vérité des expressions ou simplifier les différentes expressions données pour montrer qu'une se réduit à...

Pour le reste, dans un forum de programmation Python, on suppose que vous avez des difficultés pour coder je ne sais quoi et que vous avez déjà ce que vous avez essayé à montrer.

- W

**Sve@r** · 28/04/2021, 08h28

Bonjour

Envoyé par sam01

Si quelqu'un a une explication claire. Merci d'avance.

Déjà les lignes A et C sautent direct, une expression sous forme "(X et TRUC) ou (NON(X) et TRUC)" devient simplement TRUC, le "X ou NON(X)" s'annule. La première ligne devient simplement "B" et la troisième ligne devient "NOT(A)". Et aucune des deux (qui ne dépend que d'une valeur donc qui n'a au final que deux "VRAI") ne peut convenir à une expression de type X OR Y du début pour laquelle on obtient toujours trois "VRAI". Ensuite la ligne D n'est pas simplifiable (elle est de type XOR ce qui donnera elle aussi alors seulement deux "VRAI"), il ne reste donc que la C à examiner. Voilà déjà comment avec simplement un peu de réflexion on a éliminé 3 des 4 possibilités. Et si le QCM assure qu'il y a une réponse correcte, on peut même s'arrêter ici.

Ensuite si on veut être sûr alors on simplifie et effectivement la ligne C se simplifie en "NOT(A) ou B" soit par les tables de vérité, soit par calcul, le "(A and B) or (not A and B)" devient simplement "B" et si on lui rajoute ensuite "or (not A and not B)" ça donne au final B ou NOT(A) car le "and not B" étant devenu alors implicite donc inutile.

Maintenant, comme l'a dit wiztricks, ici c'est un forum dédié à Python donc pourquoi tu n'as pas demandé à Python de te trouver la solution???

Code python :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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#!/usr/bin/env python3
# coding: utf-8
 
def base(A, B):
	print("A=%d, B=%d, res=%d" % (A, B, not A or B))
 
def ligneA(A, B):
	print("A=%d, B=%d, res=%d" % (A, B, (A and B) or (not A and B)))
 
def ligneB(A, B):
	print("A=%d, B=%d, res=%d" % (A, B, (A and B) or (not A and B) or (not A and not B)))
 
def ligneC(A, B):
	print("A=%d, B=%d, res=%d" % (A, B, (not A and B) or (not A and not B)))
 
def ligneD(A, B):
	print("A=%d, B=%d, res=%d" % (A, B, (A and B) or (not A and not B)))
 
for (s, f) in (
	("base", base),
	("ligneA", ligneA),
	("ligneB", ligneB),
	("ligneC", ligneC),
	("ligneD", ligneD),
):
	print()
	print(s)
	for A in (False, True):
		for B in (False, True):
			f(A, B)
	# for
# for

**sam01** · 28/04/2021, 11h03

Salut Sve@r et merci pour ton explication.
C'est un QCM dit "Python" pour ma fille qui est au Lycée alors je suis venu naturellement dans le forum Python sinon je ne sais pas dans quel forum aller du coup.
Et même si j'avais réussi à le coder en Python je n'aurais pas eu l'explication. En plus c'est in QCM et pendant l'examen qui a un temps très limité les Lycéens n'ont pas le droit de coder.
Juste une chose pour la ligne C, si je suis ton raisonne ment le B et le NOT B d'annulent. Ils ne devrait donc pas y avoir de B dans la simplification ?

**Sve@r** · 28/04/2021, 11h44

Envoyé par sam01

sinon je ne sais pas dans quel forum aller du coup

L'algèbre booléenne est la base de l'informatique. Et pour les langages, la base d'un langage est l'algorithmique donc le forum algo aurait été le plus adéquat.

Envoyé par sam01

Juste une chose pour la ligne C, si je suis ton raisonne ment le B et le NOT B d'annulent. Ils ne devrait donc pas y avoir de B dans la simplification ?

Le B et le NON B s'annulent quand ils sont reliés au même booléen => ex (B et X) ou (NON B et X) (X étant le même à droite et à gauche).
Ici il y a B et (NON B et NON A). Le premier "B" peut s'écrire aussi "B et VRAI". Ca donne donc (B et VRAI) ou (NON B et NON A). On n'a pas le même "X" à droite et à gauche donc la simplification précédente est interdite.

En revanche, avec B ou (NON B et NON A) le "NON B" est, dans ce cas précis, inutile car il est automatiquement présent quand la première partie (ici "B") est fausse donc lui il s'annule purement et simplement.
Et si on veut le prouver avec le calcul, il suffit de développer les parenthèses, ce qui fait (B ou NON B) et (B ou NON A) ce qui donne alors VRAI et (B ou NON A) soit tout simplement B ou NON A.

**wiztricks** · 28/04/2021, 12h23

Salut,

Envoyé par sam01

Et même si j'avais réussi à le coder en Python je n'aurais pas eu l'explication. En plus c'est in QCM et pendant l'examen qui a un temps très limité les Lycéens n'ont pas le droit de coder.

Avant de poster, on suppose que vous avez un peu cherché sur Internet et côté algèbre booléenne vous avez des cours du lycée. Et si on suppose qu'un examen (QCM ou autre) valide qu'on a compris le cours: difficile de passer à côté.

Après si on ne peut pas coder, faire une table de vérité des différentes expressions booléenne, n'a jamais tué personne et sont aussi utiles pour "simplifier" les expressions booléennes.

- W

**Meroga** · 28/04/2021, 14h03

Envoyé par sam01

Bonjour,

je fais un QCM et j'aimerais comprendre la réponse à cette question sur les booléens.

La question est :

Voici les différentes réponses (j'ai la réponse mais pas les explications) ::

Code :

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A	(A and B) or (not A and B)
B	(A and B) or (not A and B) or (not A and not B)
C	(not A and B) or (not A and not B)
D	(A and B) or (not A and not B)

Si quelqu'un a une explication claire. Merci d'avance.

Le plus simple c'est de faire une table de vérité.

A	B	non A ou B
faux	faux	vrai
faux	vrai	vrai
vrai	faux	faux
vrai	vrai	vrai

Donc non A ou B équivaut à (non A et non B) ou (non A et B) ou (A et B). Le ou est commutatif donc après "traduction" en python, la bonne réponse est la deuxième.

Maintenant, la première, (A and B) or (not A and B), ça ne dépend pas du tout de la valeur de A ("il fait beau et je prends mon parapluie, ou, il ne fait pas beau et je prends mon parapluie", dans les deux cas on prend un parapluie). (A and B) or (not A and B) équivaut à B.
Plus rigoureusement, on peut factoriser :

(A et B) ou (non A et B)	= (A ou non A) et B
	= Vrai et B
(A et B) ou (non A et B)	= B

La troisième, (not A and B) or (not A and not B), c'est le même raisonnement. Ici c'est de la valeur de B dont on se fiche. (not A and B) or (not A and not B) est équivalent à not A.

La quatrième, (A and B) or (not A and not B), c'est l'équivalence. Pour que la proposition soit vrai il faut que A et B soit tous les deux vrais ou que A et B soit tous les deux faux.

Pour information, non A ou B c'est pareil que A => B et évidement, implication et équivalence ce n'est pas la même chose. si un quadrilatère est un carré alors c'est un rectangles mais carré et rectangle ce sont deux choses différentes.

**sam01** · 29/04/2021, 18h01

Merci pour vos explications précieuses.
Dernière question,

si j'avais eu OR dans les parenthèses à la place de AND le raisonnement aurait été le même ?

Code :

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C    (NOT A or B) or (NOT A or NOT B)
D    (A or B) or (NOT A or NOT B)

pour les réponses C et D ?

**wiztricks** · 29/04/2021, 20h37

Envoyé par sam01

Merci pour vos explications précieuses.
Dernière question,

si j'avais eu OR dans les parenthèses à la place de AND le raisonnement aurait été le même ?

Si vous aviez fait le tableau de vérité, vous auriez un peu essayé de comprendre ce qu'on a tenté de vous expliquer (et trouvé tout seul la réponse à votre question).
N'oubliez pas qu'apprendre ou comprendre, commence par mettre les mains dans le cambouis...

- W

**Sve@r** · 29/04/2021, 21h05

Envoyé par sam01

si j'avais eu OR dans les parenthèses à la place de AND le raisonnement aurait été le même ?

Code :

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C    (NOT A or B) or (NOT A or NOT B)
D    (A or B) or (NOT A or NOT B)

pour les réponses C et D ?

Pourquoi les parenthèses? Au primaire on apprend l'arithmétique et les parenthèses qui servent à prioriser des opérations de rang différent. Ici avec uniquement des "or" je ne vois pas leur utilité.
Ensuite tu réfléchiras sur le résultat de not X or not X puis sur celui de X or not X...

booléens et QCM

Python

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