Discussion :

[ParadoxEd]

Bonjour,

Je cherche à connaitre les minima d'un histogramme et je ne sais pas quel(s) algorithme(s) utiliser. Je dispose d'histogrammes d'images que je dois segmenter. En modélisant mes histogrammes comme des mélanges de gaussiennes avec le nombre de classes qui correspond au nombre de "pics" qu'a mon histogramme, je peux arriver à segmenter. L'ennui, c'est qu'il y a du recouvrement entre mes gaussiennes et donc je dois estimer le seuil entre 2 classes. J'étais parti sur le fait de faire la somme des différentes gaussiennes, et j'obtiens donc une courbe, qui 'a priori', présente des tangentes horizontales aux endroits les plus propices aux seuils (si quelqu'un pouvait m'expliquer pourquoi c'est une bonne ou une mauvaise solution, j'en serai content). Partant de là, je cherche donc un algo pour détecter ces valeurs de seuils et donc les minima de la fonction.

[pseudocode]

L'ennui, c'est qu'il y a du recouvrement entre mes gaussiennes et donc je dois estimer le seuil entre 2 classes. J'étais parti sur le fait de faire la somme des différentes gaussiennes, et j'obtiens donc une courbe, qui 'a priori', présente des tangentes horizontales aux endroits les plus propices aux seuils (si quelqu'un pouvait m'expliquer pourquoi c'est une bonne ou une mauvaise solution, j'en serai content). Partant de là, je cherche donc un algo pour détecter ces valeurs de seuils et donc les minima de la fonction.

Ne suffit-il pas simplement de chercher le zéro de la dérivée ? Si ton mélange s'écrit M(x) = G1(x) + G2(x), il faut trouver x tel que M'(x) = G1'(x) + G2'(x) = 0.

Ceci dit, si ton histogramme n'est pas très grand (256 valeurs ?), tu as plus vite fait de calculer le maximum de vraisemblance pour chaque valeur de l'histogramme.

[ParadoxEd]

Ne suffit-il pas simplement de chercher le zéro de la dérivée ? Si ton mélange s'écrit M(x) = G1(x) + G2(x), il faut trouver x tel que M'(x) = G1'(x) + G2'(x) = 0.

J'y ais pensé mais la dérivée était très instable, ce n'était pas très exploitable en l'état car j'ai fait une "bête" dérivée numérique par différences entre 2 points. Je devrais peut-être me tourner vers la méthode de Newton ou autre, j'imagine.

Ceci dit, si ton histogramme n'est pas très grand (256 valeurs ?), tu as plus vite fait de calculer le maximum de vraisemblance pour chaque valeur de l'histogramme.

Alors, j'ai implémenté l'algo EM qui y fait appel, mais je pense ne pas avoir réellement compris ce qu'était cette histoire de maximum de vraisemblance... Peut-être un bout de cours à me conseiller ?

[pseudocode]

J'y ais pensé mais la dérivée était très instable, ce n'était pas très exploitable en l'état car j'ai fait une "bête" dérivée numérique par différences entre 2 points. Je devrais peut-être me tourner vers la méthode de Newton ou autre, j'imagine.

Le mélange est une somme de gaussienne. Tu peux calculer sa dérivée analytiquement et chercher le(s) zéro(s) de la fonction par une méthode numérique.

M'(x) = G1'(x) + G2'(x) + ...

avec G'(x) = -(x-µ)/σ² * G(x) = -(x-µ)/σ² * 1/σ.sqrt(2pi) * exp( -(x-µ)²/2σ² )

Alors, j'ai implémenté l'algo EM qui y fait appel, mais je pense ne pas avoir réellement compris ce qu'était cette histoire de maximum de vraisemblance... Peut-être un bout de cours à me conseiller ?

Chaque gaussienne "Gi" du mélange représente la probabilité qu'une valeur de l'image appartienne à la i-ème classe.

Prenons la valeur h = 75. Calculons les valeurs des gaussiennes. Par exemple: G1(75) = 0.23, G2(75) = 0.47, G3(75) = 0.05, ...

Cela signifie qu'il y a 23% de chance que h=75 appartienne à la la classe 1, 47% de chance que h appartienne à la la classe 2, 5% de chance que h appartienne à la la classe 3, ...

Le plus vraisemblable est donc que h=75 appartienne à la la classe 2. C'est le maximum de vraisemblance.

L'idée c'est de calculer le maximum de vraisemblance pour toutes les valeurs de l'histogramme (de 0 a 255). Ca donne un tableau avec le numéro de la classe la plus vraisemblable pour chaque valeur de pixel.

[ParadoxEd]

Effectivement, j'ai été bête sur ce coup-là, il suffit de rattacher à chaque pixel la probabilité d'appartenance à chaque classe.

Du coup, ça marche bien en utilisant le maximum de vraisemblance, je peux obtenir facilement une image segmentée de cette façon à partir de mes données.

Sinon, sauf erreur de ma part, un critère de vraisemblance n'est pas toujours défini ainsi ?

[pseudocode]

Sinon, sauf erreur de ma part, un critère de vraisemblance n'est pas toujours défini ainsi ?

Effectivement. Ici c'est très simple car le paramètre recherché c'est simplement le n° de la classe. C'est donc une valeur discrète entre 1 et N (nmb de classe). Il suffit de tester toute les valeurs.