Discussion :

[marcguill]

C'est loin d'être bête comme question.

Les polynômes générateurs sont de la forme G(x) = (x-a^1)(x-a^2)(x-a^3)...
où "a" est l'élément primitif du corps, et le degré de G est égal au nombre d'octets de correction désiré.

5 octets de correction --> Deg(G)=5 --> G(x) = (x-a^1)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)(x-a^5)

--> G(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-16)(x-32) = 1.x^5 + 62.x^4 + 111.x^3 + 15.x^2 + 48.x + 228

Pour info, tout cela est expliqué dans la norme ISO/IEC 16022

Quand je réalise le calcul, je n'obtiens pas du tout le même résultat :
G(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-16)(x-32) = 1.x^5 - 62.x^4 + 1240.x^3 - 9920.x^2 + 31774.x - 32768

Comment faites vous pour obtenir :
G(x) = 1.x^5 + 62.x^4 + 111.x^3 + 15.x^2 + 48.x + 228

[pseudocode]

Comment faites vous pour obtenir :
G(x) = 1.x^5 + 62.x^4 + 111.x^3 + 15.x^2 + 48.x + 228

RAPPEL: Toutes les opérations sur les polynômes, mêmes les plus élémentaires, se font dans le corps de Galois GF(256).

Comme je l'ai dit, tout cela est expliqué dans la norme ISO/IEC 16022:

For example the fifth degree generator polynomial is:

(x + 2)(x + 4)(x + 8)(x + 16)(x + 32)

= x5 + (2 + 4 + 8 + 16 + 32)x4 + ((2 * 4) + (2 * 8) + (2 * 16) + (2 * 32) + (4 * 8) + (4 * 16) + (4 * 32) + (8 * 16) +
(8 * 32) + (16 * 32))x3 + ((2 * 4 * 8) + (2 * 4 * 16) + (2 * 4 * 32) + (2 * 8 * 16) + (2 * 8 * 32) + (2 * 16 * 32) +
(4 * 8 * 16) + (4 * 8 * 32) + (4 * 16 * 32) + (8 * 16 * 32))x2 + ((2 * 4 * 8 * 16) + (2 * 4 * 8 * 32) + (2 * 4 * 16 * 32)
+ (2 * 8 * 16 * 32) + (4 * 8 * 16 * 32))x + (2 * 4 * 8 * 16 * 32)

= x5 + 62x4 + 111x3 + 15x2 + 48x + 228.

Note that this Galois Field arithmetic is not normal integer arithmetic:
- is equivalent to +, which is an “exclusive-or” operation in this Field,
and
multiplication is byte-wise modulo 100101101 for each binary polynomial term generated by bit-by-bit multiplication.

Par exemple, si je détaille le calcul du dernier terme: (2*4*8*16*32)

2*4*8*16*32 = 32768 = 1000000000000000 (binaire)

1000000000000000  | 100101101
 001011010000000  |-----------
  01011010000000  | 10010100
   1011010000000  |
    010001010000  |
     10001010000  |
      0011100100  |
       011100100  |
        11100100  |

1000000000000000 = 10010100 * 100101101 + 11100100
      32768      =    148   *   301     +    228

=>  (2*4*8*16*32) = 228  dans GF(256)

et si je détaille le calcul du coef du terme en x: ((2*4*8*16)+(2*4*8*32)+(2*4*16*32)+(2*8*16*32)+(4*8*16*32)).x

(2*4*8*16)  --> 180 = 10110100
(2*4*8*32)  -->  69 = 01000101
(2*4*16*32) --> 138 = 10001010
(2*8*16*32) -->  57 = 00111001
(4*8*16*32) --> 114 = 01110010
                      --------
                (xor) 00110000 --> 48

=> ((2*4*8*16)+(2*4*8*32)+(2*4*16*32)+(2*8*16*32)+(4*8*16*32)).x = 48.x  dans GF(256)

[GaryL]

Bonjour, j'ai bien lu toutes vos explications et c'est passionnant !
J'ai ici une question sur un DataMatrix réel :

Size 18x18
Data 16x16

18 codewords de data
14 codewords de contrôle en ECC200 donc en Reed-Solomon

Polynôme générateur : 1x^14+185x^13+83x^12+186x^11+18x^10+45x^9+138x^8+119x^7+157x^6+9x^5+95x^4+252x^3+192x^2+97x^1+156x^0

Data brute :
170x^17+162x^16+203x^15+72x^14+152x^13+134x^12+159x^11+131x^10+172x^9+134x^8+65x^7+84x^6+150x^5+128x^4+86x^3+236x^2+132x^1+27x^0

Polynôme de contrôle sera quoi selon vous ?
Il est inscrit dans le DataMatrix:

34
247
18
85
88
31
120
154
56
173
193
20
226
115

Et quand je le fais moi-même en ligne, j'obtiens :

207
29
239
193
33
16
164
213
158
250
47
91
224
6

Où est la vérité ?

Merci