Néophite de rotation de plan en R3

Bonjour, voilà mon petit probleme,
je connais l'equation d'un plan et j'aimerais pouvoir le faire
tourner au tour d'un certain point:



l'équation du plan est dans un vecteur sous la forme
linéaire je crois: ax+ by+ cz + d = 0

selon ma compréhension, a b et c représente en faite
le vecteur "normal" au plan.

si j'arrive a faire une rotation de mon vecteur
et a re-calculer les nouveaux a b et c ,
l'équation de mon plan "tourné" sera:
a'x + b'y +c'z + d =0

si oui, comment je peux le faire?
avec des matrices?
si avec matrices... 3x3 ou 4x4... comment j'initialise tout ca?
exemple et/ou explication serait le bienvenue!

Gros Merci

Il me semble que pour une rotation autour de x puis de y puis de z, la matrice de rotation est le produit des matrice mx, my et mz avec :

1 0 0
mx = 0 CX SX
0 -SX CX

CY 0 SY
my = 0 1 0
-SY 0 CY

CZ SZ 0
mz = -SZ CZ 0
0 0 1

CX représente le cosinus de l'angle de rotation autour de x, SX le sinus etc...
La multiplication donne donc :

mr = mx * my *mz

Mais ATTENTION les produits de matrices ne sont pas commutatives alors regarde bien l'ordre des rotations !!!

l'équation de mon plan "tourné" sera:
a'x + b'y +c'z + d =0

Non... Car d change aussi ! Il représente la distance du plan à l'origine, il doit donc être aussi calculé !
Pour ça tu n'as qu'à prendre un point (A,B,C) du plan de départ , auquel tu effectue la rotation : le point résultant (A',B',C') doit appartenir au plan tourné donc tu as :

Code :

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d' = -(a'A' + b'B' + c'C')

A+

Merci mathieu_t pour

Non... Car d change aussi ! Il représente la distance du plan à l'origine, il doit donc être aussi calculé !

et merci norac pour

mr = mx * my *mz

cependant, une fois que j'ai mr...comment je l'utilise?
est-ce que je doit créer une matrice avec mon plan (MP)
pour faire ensouite MP*mr?

est-ce qu'avec les matrices mon d peut ce calculer en même temps
que a,b et c?

est-ce que je devrais plutot utiliser des matrices 4x4 pour faire ma rotation?
avec:

Code :

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Au tour de l'axe X :
|  1      0       0     0|
|  0     Cos(q) -Sin(q) 0|
|  0     Sin(q)  Cos(q) 0|
|  0      0       0     1|
 
l'axe Y :
 
|Cos(f)   0     Sin(f)  0|
|  0      1      0      0|
|-Sin(f)  0     Cos(f)  0|
|  0      0      0      1|
 
l'axe Z :
|Cos(g) -Sin(g)  0      0|
|Sin(g)  Cos(g)  0      0|
|  0      0      1      0|
|  0      0      0      1|

cependant, une fois que j'ai mr...comment je l'utilise?

Il suffit alors de calculer la rotation du vecteur normal (a b c) :

Code :

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Transposée((a' b' c')) = mr*Transposée((a b c))

(Produit matriciel quoi...)

Ensuite, tu n'as plus qu'à calculer d' par l'équation que je t'ai donné : il faut prendre un point qui appartient au plan et le rotationnerpour obtenir d' !
C'est relativement facile de trouver un point appartenant au plan :
tu prends par exemple x et y à 0 ce qui te donne z = -d/c (si c non nul évidemment) -> Le point (0,0,-d/c) appartient à ton plan de départ ! Il suffit de le tourner par le produit matriciel pour avoir le point (A' B' C') !

De +, tes matrices 4*4 sont fausses, car tu obtiens d = d' (si je prends la 1ère que tu donnes) ! alors que ça n'est pas forcément vrai.
A+

les matrices de Eric Boisvert sont correcte !!
Ce sont des matrices homogènes

ici d represente le facteur d'echelle !!! ils sont à 1 par défauts et peuvent changer de valeurs par simplificatin des matrices

donc tu peux faire

Mr = Mx*My*Mz

(a1 b1 c1 d1)' = Mr *(a b c d)'

Faux !!!!!

Je m'explique : effectivement c'est bien des matrices homogènes, et ici la formule (a1 b1 c1 d1)' = Mr *(a b c d)' ne fonctionne QUE si on fait des rotations autour de l'origine !! Dans ce cas alors c'est en accord avec le reste car pour toute rotation centré sur l'origine, la distance par rapport à l'origine (liée à d) ne change pas !
MAIS pour une rotation autour d'un point quelconque, la distance change !! L'équation (a1 b1 c1 d1)' = Mr *(a b c d)' serait vrai si a,b,c,d sont exprimés dans le repère lié au centre de rotation !!! Sinon c'est faux !

Ou alors je me goure encore ??

Donc si je comprend bien, j'ai aucun avantage à utiliser des matrices 4x4?

je dois "tourner" mon vecteur a b c pour trouver a' b' c' avec une
matrice de rotation 3x3 et ensuite
recalculer mon d en prenant un point du plan original, je le tourne
avec la matrice de rotation 3x3 et recalcule d.

Y a plusieurs sites qui parle du "gimbal lock" avec des 3x3...mais je ne
saisi pas bien ce problème.

ensuite mathieu_t, quand tu écrit transposée dans:

Code :

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Transposée((a' b' c')) = mr*Transposée((a b c))

je saisi pas vraiment quoi faire...en faite, c'est quoi transposée un vecteur?

Merci de mettre un peu de lumière dans les gigantesques coins obscures de mon ignorance!

La transposée de (a b c) qui s'écrit aussi (a b c)' ou dans mon cas (pour être plus clair) Transposée((a b c)) est :

a
b
c

En fait tu "renverses" ton vecteur 1x3 en un vecteur 3x1...
J'ai écris comme ça car c'est plus simple d'écriren ligne qu'en colonne...
Néamoins, le vecteur d'entrée doit être 3x1 et non 1x3 (question de taille de matrice pour le produit matriciel)...

ça marche aussi pour les matrices où la transposée d'une matrice nxm est une matrice mxn...

A+

Tout a fait claire!

j'essaie de mettre tout ca en oeuvre...
(ca va prendre un certain temps vue que c'est à
"temps partiellement plein" que je peux m'y mettre!)

Gros Merci

Il ya un truc qui me revient soudain...
En fait je crois qu'on peut se servir des coordonnées homogènes (cad matrices 4*4) si on considère que l'on se ramène à l'origine via une translation puis qu'on effectue les rotations : ex :

Code :

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|  1      0       0    0|
|  0     Cos(q) -Sin(q) 0|
|  0     Sin(q)  Cos(q) 0|
|  Tx     Ty      Tz    1|

est la matrice Mr qui si elle est multipliée par Transposée(a b c d) donne la rotation et translation appliquée au vecteur (a b c d)...
Ensuite via la matrice Tinv

Code :

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|  1  0  0  0|
|  0  1  0  0|
|  0  0  1  0|
|  Tx Ty Tz 1|

qui nous donne la translation inverse, on ne change que d en revenant au point d'origine (le poitn rouge de la figure)!!

Donc pour résumer, et surtout si je ne me trompe pas, la rotation du plan autour d'un point selon l'axe x est définie par :

Transposée(a' b' c' d') = Tinv*Mr*Transposée (a b c d) ...

A vérifier, mais il me semble que c'est ça !

A+

Alors, j'vais commencer par ta dernière idée!

Elle me plait beaucoup!

Si quelqu'un peut le confirmé avant moi, ce serait bien...
de toute facon, j'vous en redonne des nouvelles!

À suivre...Merci

tu n'a pas tors mais moi non plus !!!

Si le centre de rotation n'est pas l'origine du repair, il suffit d'effectuer un changement de repair avant les rotations !!!

(a1 b1 c1 d1)' = (tx ty tz 1)' * (a b c d)'

et tu peux toujours utiliser les matrices homogènes

L'équation de ton plan : ax+by+cz+d=0 .
Le vecteur U =[a,b,c] est un vecteur normal au plan et de longueur u = sqrt(a^2+b^2+c^2) . |d|/u est la distance du plan à l'origine
La distance du centre de rotation M0= (x0,y0,z0) au plan est d0= | ax0+by0+cz0+d|/u
Après rotation, la direction du vecteur normal a changé U' =[a',b',c'] avec U' = R U , R étant la matrice de rotation.
Comme la rotation conserve les longueurs u'=u et la distance d'0 de M0 au nouveau plan est inchangée et égale à d0. Alors :
| ax0+by0+cz0+d| = | a'x0+b'y0+c'z0+d'|
d'où on tire la valeur de d' = d+(a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0
ou d' = -d+(a'+a)x0+(b'+b)y0+(c'+c)z0,
solutions équivalentes puisqu'on passe de l'une à l'autre en changeant le signe de a,b,c,d ce qui ne change pas le plan de départ ou de a',b',c',d' ce qui laisse invariant le plan d'arrivée.
En résumé,
calculer la nouvelle normale [a',b',c']T = R [a,b,c]T , R étant la matrice de rotation (dont les expressions ont été données ailleurs)
calculer d' = d+(a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0

[Edit]
une interversion de a et a' , b et b' c et c' s'est glissée dans le calcul de d'
le résultat correct est
calculer d' = d+(a-a')x0+(b-b')y0+(c-c')z0
[\Edit]

Envoyé par norac

tu n'a pas tors mais moi non plus !!!

Si le centre de rotation n'est pas l'origine du repair, il suffit d'effectuer un changement de repair avant les rotations !!!

(a1 b1 c1 d1)' = (tx ty tz 1)' * (a b c d)'

et tu peux toujours utiliser les matrices homogènes

Oui !! Bon disons que j'ai réfléchi un peu trop vite...

Diogene oui tu as raison mais tout ça a déjà été dit avant !

A+

mathieu_t a écrit :

mais tout ça a déjà été dit avant !

Alors, qq chose a du m'échapper car j'ai vu beaucoup de discours sur le changement de repère pour faire tourner un point du plan (il faut déjà en déterminer un ce qui sans être difficile est pénible compte tenu des cas particuliers , a = 0 , b = 0 ...) dans le seul but d'obtenir la nouvelle valeur d' de d et fort peu sur l'expression de d'. Si on connaît d', effectuer les changements de repère est inutile.
Il n'y a aucune necessité de changer de repère avant la rotation de (a,b,c) puisqu'il s'agit de faire une rotation sur une direction et pas sur un point et on n'a pas besoin d'introduire des matrices supplémentaires pour effectuer ce changement ( a moins d'un gout pervers pour les matrices )alors que le calcul direct est immédiat.
Changeons de repère :
ax+by+cz+d=0 Dans le repère d'origine
a(X+x0)+...+d=0 Dans le repère centré sur M0
aX+... +(d+ax0+...) = 0
Rotation du vecteur (abc) -> (a'b'c') = R(a,b,c)
Le nouveau plan :
a'X+... +(d+ax0+...) = 0 ( le terme constant est le même)
retour au repère initial
a'(x-x0)+...+(d+ax0+...) = 0 soit
a'x +...+ (d +(a-a')x0 +...) =0
Et on obtient le résultat précédent.
Pourquoi chercher plus loin que la seule matrice de rotation ?

Envoyé par diogene

En résumé,
calculer la nouvelle normale [a',b',c']T = R [a,b,c]T , R étant la matrice de rotation (dont les expressions ont été données ailleurs)
calculer d' = d+(a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0

Désolé, mais mon plan semble tourner... mais j'ai un probleme avec le
calcule du d' car il semble qu'un "déplacement" s'ajoute à mon plan.
comme si le centre de rotation n'était pas mon point spécifique.

voici quelque chiffres pour une rotation de 180 degrés autour de z.

Code :

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 Equation du plan: 
plan=( 97.0227042959 , 0.0 , 0.0 , -79170.5267055 )
point de rotation: 
RPt( 810, 270, 180)
matrice de rotation: 
mr=
[-1.0  1.0  0.0  0.0 ]
[ 0.0 -1.0  0.0  0.0 ]
[ 0.0  0.0  1.0  0.0 ]
[ 0.0  0.0  0.0  1.0 ]
mr*plan=( -97.0227042959 , 0.0 , 0.0 , -79170.5267055 )
pour calculer mon nouveau d:
d' = d+(a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0
d' = -79170.5267055 + ((-97.0227042959-97.0227042959)*810)+(0)+(0)
d' = -236347.307665
 
Techniquement mon d' devrait être éguale à:
78006.2542539

c'est comme si la bonne équation serait:

Code :

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d' = d-((a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0)

est-ce que quelqu'un peut confirmer?
Merci

c'est comme si la bonne équation serait:
d' = d-((a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0)

Effectivement. Honte à moi!
Une erreur s'était bêtement glissée dans mon premier post

| ax0+by0+cz0+d| = | a'x0+b'y0+c'z0+d'|
d'où on tire la valeur de d' = d+(a'-a)x0+(b'-b)y0+(c'-c)z0
ou d' = -d+(a'+a)x0+(b'+b)y0+(c'+c)z0,

ce qui est faux, manifestement, à cause d' une interversion entre a et a',....
Par contre, il n'y avait pas cette maladresse dans le second qui (re)démontrait le résultat

a'x +...+ (d +(a-a')x0 +...) =0

soit d' = d +(a-a')x0 +...
Avec mes excuses !