Discussion :

[mobi_bil]

Bonjour à tous,
Je cherche à savoir comment montrer que la convolution de deux fonctions gaussiennes est une fonction gaussienne.

Exemple :

f(x,s1)=(1/2*pi*s1*s1)*Exp((-x*x)/(2*s1*s1)) ......(1)
g(x,s2)=(1/2*pi*s2*s2)*Exp((-x*x)/(2*s2*s2)) .......(2)

dans (1) et (2) * designe la multiplication


f*g=k(x,s1+s2) ....(3)
dans (3) * designe la convolution

Merci pour votre aide.

[PRomu@ld]

En fait, je ne sais pas si je vais apporter toute la rigueur au raisonnement mais en tout cas j'espère t'orienter vers une solution.

Le produit de convolution peut être écrit comme un produit dans l'espace de Fourier :

f * g = TFI( TF(f) . TF(g) )

où * est le produit de convolution, . est le produit usuel, TF et TFI sont respectivement les transformée de Fourier et transformée inverse de Fourier

Maintenant il suffit de savoir que la transformée de Fourier d'une gausienne est une gaussienne. Je pense qu'à partir de là tu doit obtenir ce que tu cherches.

Maintenant si tu cherches la valeur de ta gaussienne résultante tu trouveras ton bonheur ici :

http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html (formule 7)