Systeme differentielle linéaire

**kharg** · 12/12/2007, 17h35

Bonjour,
j'ai un systeme linéaire x'(t)=A*x(t) + B(t) ou A est une matrice et le reste des vecteurs. Sans le B(t) on fait l'exponentielle de la matrice mais existe t il une operation pour avoir la solution exacte avec un B(t) (constant et non constant)?
Merci

**LordPeterPan2** · 13/12/2007, 10h36

Pour résoudre algébriquement x'(t) = A x(t) + B(t) il faut :

* Trouver une solution particuliere xc(t) tel que xc'(t) = A xc(t) + b(t)
* Noter xe la solution général de xe'(t) = A xe(t)

La solution générale est alors x = xe + xc

Sinon essaie de regarder la solution (si elle existe) d'un problème de controle linéaire variant x'(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) avec u(t) = 1 (j'ai pas mes cours sur moi)

Sinon numériquement il te faut faire appel aux EDO

**LordPeterPan2** · 13/12/2007, 14h33

Après recherche sur le net :
http://cas.ensmp.fr/~TCsysdyn/Lect7.pdf

x'(t) = A x(t) + B u(t)

Admet comme solution x(t) = exp(t A) x(0) + int( exp((t-z) A) B u(z), z=0..t)

Donc en posant B := Identité et u(t) := B(t) on obtient :

x'(t) = A x(t) + B(t) admet comme solution :
x(t) = exp(t A) x(0) + int( exp( (t-z) A) B(z), z=0..t)

**FR119492** · 14/12/2007, 15h06

Salut !

Pour compléter les réponses de LordPeterPan2, on peut trouver analytiquement une intégrale particulière si b(t) est une combinaison linéaire de puissances de t (c'est-à-dire un polynôme) et d'exponentielles (le sinus et le cosinus étant faits d'exponentielles d'arguments imaginaires).

Quant à ton système homogène, l'intégrale générale est une combinaison linéaire d'exponentielles, l'argument de celles-ci étant le produit des valeurs propres de A et du temps t. Or le calcul de ces valeurs propres et des vecteurs propres correspondants est un problème difficile, sujet à d'importantes erreurs d'arrondis, en particulier si A n'est pas symétrique; il peut en résulter des artéfacts gênants, surtout si tu as des valeurs propres très proches.

Dans tous les cas, je ne pense pas que la recherche d'une solution "analytique" soit la bonne méthode. Si tu cherches non pas l'intégrale générale, mais une intégrale particulière satisfaisant à certaines conditions initiales, tu devrais plutôt te diriger vers une intégration pas à pas.

Bonne chance !
Jean-Marc Blanc

**kharg** · 16/12/2007, 13h41

Bonjour,
Merci pour vos réponse. Mon probleme est effectivement un problème de précision. J'ai une trajectoire qui suit plusieurs systemes linéaires qui change selon sa position mais il sont tous de la forme ci dessus. Cela rend à priori le système un peu chaotique donc très sensible aux conditions initiales (je ne retrouve pas toutes les trajectoires souhaitées). Je pense que mon schéma numérique n'est pas performant c'est pour cela que je suis en train d'integrer les solutions exactes. Les calculs sont un peu pénibles. Quelle type de schéma est performant pour ce genre de système?
Cordialement. Kharg

**FR119492** · 17/12/2007, 14h57

Salut !

Serais-tu par hasard confronté à un problème de bifurcations?

fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos

Si c'est le cas, fais-le moi savoir, car j'adore ça: j'ai pas mal travaillé là-dessus pour l'étude des instabilités dans les réseaux électriques à haute tension et je pourrais peut-être t'aider.

Jean-Marc Blanc