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Cygwin est une couche d'émulation de Linux. Il émule via une DLL, et donc tous tes exe sont dépendants de cette DLL.

Ensuite, Cygwin s'installe dans un repertoire, dans lequel il crée sa propre...

1) Un exe compilé par cygwin n'est compatible que sous cygwin.

2) Ton fichier executable, tu le trouveras au même endroit que le .c normalement. Mais comment as-tu pu poser la première question (...

Je te conseille d'installer CodeBlocks et de l'utiliser.
Après, tu peux regarder les lignes de commande passées au compilo, ça sera très instructif, mais de là à se priver des bénéfices d'un IDE.....