éléments finis dans matlab

**patmondji** · 26/11/2017, 01h48

J'ai un soucis ; j'arrive pas pas à trouver les 8 premiers modes et fréquences d'une structure de treillis composé de 18 poutres(voir document joint) en 3D (6 degrés de liberté pour chaque nœuds), les nœuds sont les extrémités de chaque poutre. Le principe est le suivant :
1- Discrétiser la structure en divisant chaque élément poutre de la structure en nombre identique de sous éléments.
2-Déterminer les coordonnées de tous les (sous) nœuds de la structure après discrétisation.
3-Lister tous les sous éléments de la structure
4-lister les degrés de liberté de tous les nœuds de la structure
5-Contruire la matrice de localisation grâce à la fonction locel de Matlab
6-Construiure la matrice de rotation qui sert de passer des axes locaux des éléments à l'axe global pour obtenir la matrice de transformation qui sert à assembler les matrices de raideur et masse élémentaires en matrice de raideur et masse global de la structure. (P.S.: ne pas oublier d'ajouter la masse ponctuelle tout au dessus de la structure)
7-Définir les conditions limites
8-Utliser la fonction [V,D] =eigs() pour déterminer les 8 modes et pulsation
Voici l'énoncé du problème avec mon code matlab.

Code :

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close all
clc
%% properties of the beams
N=2;
A =1e-3 ;        % Cross section [m^2]
D =sqrt(4*A/pi);   % Cross section diameter [m]
rho = 2700;           % density of material [kg/m^3]
E = 69e9;            % Young modulus [Pa]
mu = 0.33;              % Poisson coefficient [-]
G = E/(2+2*mu);        % Shear modulus [Pa]
I_y = (pi*D^4)/64;  % Cross section moment of inertia along z [m^4]
I_z = I_y;              % Cross section moment of inertia along y [m^4]
J_x = 2*I_y;% Cross section torsion c [m^4]
r=sqrt(I_z/A); %giration radius of circular cross section 
 
%% lumped mass:
m=20;  % kg
 
%% coordinates of principal nodes and beam list
%coord=zeros(18,3);
 
for i=0:5
    coord(3*i+1,:)=[i*tand(4) 0 i];
    coord(3*i+2,:)=[0.6 -0.3+i*tand(2) i];
    coord(3*i+3,:)=[0.6 0.3-i*tand(2) i];
end
Coord=coord
elementNodes=zeros(48,2);
elementNodes(1:9,:)=[1 2;...
    2 3;...
    3 1;...
    3 6;...
    1 4;...
    2 5;...
    1 5;...
    3 5;...
    1 6];
for i=1:4
    elementNodes(i*9+1:i*9+9,:)=elementNodes(1:9,:)+3*i;
end 
elementNodes(end-2:end,:)=[16 17;...
    17 18;...
    16 18];
numberNodes=size(coord,1);
numberElements=size(elementNodes,1);
 
hold off
for i=1:numberElements
    element1=elementNodes(i,1);
    element2=elementNodes(i,2);
    x=[coord(element1,1) coord(element2,1)];
    y=[coord(element1,2) coord(element2,2)];
    z=[coord(element1,3) coord(element2,3)];
    plot3(x,y,z,'-ok');hold on
end
axis equal
subNO
 
%% List of subelements of structure
subelement=zeros(numberElements*N,2);
index = 19;
k=1;
if N==1
    disp('Please N must be upper than one or equal to zero in case of no subelement in a beam in the subNO file; thanks')
elseif N==0
    subelement=elementNodes;
else
for i=1:numberElements
   subelement(k,:)=[elementNodes(i,1) index];
 
    k=k+1;
   index= index+1;
    for j=2:N-1
       subelement(k,:) = [index-1 index+1-1];
      index = index+1;
    k=k+1;
    end
    subelement(k,:) = [index-1 elementNodes(i,2)];
    k =k+1;
end
end
 
%% list of DOFs of structure
t= ((N-1)*length(elementNodes) + numberNodes);
dofList=zeros(t,6);
 
for i=1:t
    for j=1:6
 
        dofList(i,j)=(i-1)*6+j;
    end
end
%%
 %%Localisation Matrix
    Locel=zeros(N*numberElements,12);
for i=1:N*numberElements
    dof_1=dofList(subelement(i,1),:); % dofs of 1st node
    dof_2=dofList(subelement(i,2),:); % dofs of 2nd node
    Locel(i,:) = [dof_1 dof_2];
end
        %% 
 
 
 
 
   % Kglobal(locel,locel)=Kglobal(locel,locel)+T(:,:,s)'*Kel*T(:,:,s);
   % Mglobal(locel,locel)=Mglobal(locel,locel)+T(:,:,s)'*Mel*T(:,:,s);
 
p3=[0 -0.3 0];
X3=0; Y3=-0.3;  Z3=0;
eX = [1 0 0];
eY = [0 1 0];
eZ = [0 0 1];  % Global axis (structure)
k=1;
n=N*numberElements;
T=zeros(12,12,n)
l=zeros(N*numberElements,1)
for i=1:numberElements
 
    L(i,:)=norm(coord(elementNodes(i,2),:)-coord(elementNodes(i,1),:)); % length of each beam
    l=L(i,:)/N %length of each subelement(discretized beam)
   ex(i,:)=(coord(elementNodes(i,2),:)-coord(elementNodes(i,1),:))/norm(coord(elementNodes(i,2),:)-coord(elementNodes(i,1),:));
   d2(i,:)=(coord(elementNodes(i,2),:)-coord(elementNodes(i,1),:));
   d3(i,:)=p3-coord(elementNodes(i,1),:);
   ey(i,:)=cross(d3(i,:),d2(i,:))./norm(cross(d3(i,:),d2(i,:)));
   ez(i,:)=cross(ex(i,:),ey(i,:));
 
   R(:,:,i)=[dot(eX,ex(i,:)) dot(eY,ex(i,:)) dot(eZ,ex(i,:));...  
   dot(eX,ey(i,:)) dot(eY,ey(i,:)) dot(eZ,ey(i,:));...
   dot(eX,ez(i,:)) dot(eY,ez(i,:)) dot(eZ,ez(i,:)) ]
 Te=[R zeros(3) zeros(3) zeros(3);...
  zeros(3) R  zeros(3) zeros(3);...
  zeros(3) zeros(3) R zeros(3);...
  zeros(3) zeros(3) zeros(3) R];
 
 
end
%%Assembly 
 
 
Kel=[(E*A/l)           0           0           0           0           0           -(E*A/l)            0           0           0           0           0           ;
     0          ((12*E*I_z)/l^3)    0           0           0       (6*E*I_z)/(l^2)     0       (-12*E*I_z)/(l^3)   0           0           0      (6*E*I_z)/(l^2)  ;
     0                  0   (12*E*I_y)/(l^3)    0    (-6*E*I_y)/(l^2)   0               0               0   (-12*E*I_y)/(l^3)   0   (-6*E*I_y)/(l^2)    0           ;
     0                  0           0       (G*J_x)/(l)     0           0               0               0           0       (-G*J_x)/(l)    0           0           ;
     0                  0   (-6*E*I_y)/(l^2)    0       (4*E*I_y)/(l)   0               0               0   (6*E*I_y)/(l^2)     0       (2*E*I_y)/(l)   0           ;
     0          (6*E*I_z)/(l^2)     0           0           0       (4*E*I_z)/(l)       0       (-6*E*I_z)/(l^2)    0           0           0       (2*E*I_z)/(l)   ;
     (-E*A)/(l)         0           0           0           0           0           (E*A)/(l)           0           0           0           0           0           ;
     0          (-12*E*I_z)/(l^3)   0           0           0       (-6*E*I_z)/(l^2)    0       (12*E*I_z)/(l^3)    0           0           0       (-6*E*I_z)/(l^2);
     0                  0   (-12*E*I_y)/(l^3)   0    (6*E*I_y)/(l^2)    0               0               0   (12*E*I_y)/(l^3)    0   (6*E*I_y)/(l^2)     0           ;
     0                  0           0       (-G*J_x)/(l)    0           0               0               0           0       (G*J_x)/(l)     0           0           ;
     0                  0   (-6*E*I_y)/(l^2)	0    (2*E*I_y)/(l)      0               0               0   (6*E*I_y)/(l^2)     0   (4*E*I_y)/(l)       0           ;
     0          (6*E*I_z)/(l^2)     0           0           0       (2*E*I_z)/(l)       0       (-6*E*I_z)/(l^2)    0           0           0       (4*E*I_z)/(l)]  ;
 
 
 
 
% Elementary mass matrix
Mel = rho*A*l* ...
   [  1/3    0              0                0       0         0       1/6      0       0        0         0           0;   
       0   13/35            0                0       0      11*l./210    0      9/70     0        0         0        -13*l./420;
       0     0            13/35              0    -11*l./210    0        0       0      9/70      0      13*l./420       0;
       0     0              0               (r^2)/3     0         0        0       0       0      (r^2)/6       0           0;
       0     0         -11*l./210         0     (l)^2/105     0        0       0   -13*l./420    0      -(l)^2/140       0;
       0  11*l./210      0                0       0       l.^2/105    0   13*l/420    0        0         0        -l.^2/140; 
      1/6    0              0                0       0         0       1/3      0       0        0         0           0; 
       0   9/70             0                0       0       13*l./420   0     13/35     0        0         0        -11*l./210;
       0     0            9/70               0     -13*l./420   0        0       0     13/35      0      11*l/210       0;
       0     0              0              (r^2)/6     0         0        0       0       0      r^2/3       0           0;
       0     0         13*l./420          0     -((l)^2)/140    0        0       0    11*l./210    0       (l^2)/105       0;
       0  -13*l./420     0                0       0      -(l^2)/140    0   -11*l./210   0        0         0         ((l)^2)/105];
 
   %% assembly process: 
    Nnode_tot = (N-1)*length(elementNodes) + numberNodes;      % Number of nodes of structure
    Ndof = Nnode_tot*6;
    K_global=zeros(Ndof,Ndof);  %reset the stiffness matrix of the element in global reference frame
    M_global=zeros(Ndof,Ndof);  %reset the stiffness matrix of the element in global reference frame
 
    for k=1:numberElements
        for s=1:N*numberElements
    K_global(Locel(i,:),Locel(i,:))=K_global(Locel(i,:),Locel(i,:))+T(:,:,s)'*Kel*T(:,:,s);
    M_global(Locel(i,:),Locel(i,:))=M_global(Locel(i,:),Locel(i,:))+T(:,:,s)'*Mel*T(:,:,s);
        end
    end
M_global(91,91)=M_global(91,91)+ m; % lumped mass is located at the 16th node
M_global(92,92)=M_global(92,92)+ m;
M_global(93,93)=M_global(93,93)+ m;
 
% Boundary conditions.
% nodes 1,2 and 3 are fixed.
fixNode_1 = [doflist(1,:)];
fixNode_2 = [doflist(2,:)];
fixNode_3 = [doflist(3,:)];
 
 
clampedDOF = [fixNode_1  fixNode_2   fixNode_3 ];
 
K_global(clampedDOF, :) = [];
K_global(:, clampedDOF) = [];
M_global(clampedDOF, :) = [];
M_global(:, clampedDOF) = [];
 
[V,D]=eigs(K_global,M_global,5,'sm');
omega = diag(D.^(0.5));
f = omega/(2*pi);
 
%% Damping matrix
 
Coeff = 2*[omega(1) 1/omega(1); omega(2) 1/omega(2)]^(-1)*[0.01 0.01]'; % Eq. 3.20 p.156
a = Coeff(1);
b = Coeff(2);
 
CGlobal = a*KGlobal + b*MGlobal;  % Eq. 3.19 p.156
eps = 1/2*(a.*omega + b./omega);

Merci

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Mode arborescent

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