Discussion :

[Sally Sk]

Bonjour,

Je souhaite resoudre un systeme lineaire de la forme :

y=a + bx1 + cx2 (1)

ou a,b,c sont les coefficients a determiner. y,x1 et x2 sont des vecteurs de la meme taille et sont connus.

J'ai donc pense a utilise la methode des moindres carres. Je ne me suis pas embetee, j'ai utilise directement la fonction proposee par matlab : X=lscov(A,B) en mettant mon equation (1) sous la forme matricielle : B=AX avec X=(a b c).

Cette fonction me retourne bien les valeurs des coefficients a, b, c. Par contre, j'aimerais egalement connaitre l'incertitude sur mes coefficients. Matlab propose de calculer l'ecart-type avec la commande suivante : [x,stdx]=lscov(...) mais je ne comprends pas comment Matlab calcule cet ecart-type.
Dans la description de la fonction lscov, il est ecrit que stdx est calcule de la maniere suivante :

x = inv(A'*inv(V)*A)*A'*inv(V)*B
mse = B'*(inv(V) - inv(V)*A*inv(A'*inv(V)*A)*A'*inv(V))*B./(m-n)
S = inv(A'*inv(V)*A)*mse
stdx = sqrt(diag(S))

Ce qui me perturbe, c'est que je n'entre a aucun moment la valeur de V. Du coup, je ne comprends pas comment cette fonction peut calculer l'ecart-type.

Est-ce-que quelqu'un aurait une explication ? ou sinon, est-ce-que quelqu'un aurait une autre astuce pour calculer l'incertitude sur mes coefficients ? je n'ai vraiment pas envie d'utiliser les valeurs retournees par matlab sans savoir comment il fait pour les trouver. Et surtout, j'ai peur que les valeurs que matlab me retourne ne correspondent pas a l'incertitude, mais a autre chose que je n'aurais pas saisie.

Merci d'avance pour votre aide !

[Dombrai]

Salut,

en ouvrant le code de la fonction, qui se trouve ici :

C:\MATLAB\R2012a\toolbox\matlab\matfun\lscov.m


on voit cela :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
 
% V not given, assume the identity.
if nargin < 3 || isempty(V)
    V = [];
    alg = 'chol';

donc dans ton cas inv(V) = V = Id, tu peux simplifier tes formules en

x = inv(A'*A)*A'*B
mse = B'*(Id -A*inv(A'*A)*A')*B./(m-n)
S = inv(A'*A)*mse
stdx = sqrt(diag(S))

[Sally Sk]

Ok super, merci !

Par contre, est-il juste de considerer l'incertitude sur les coefficients comme l'ecart-type ? pour le coefficient a, je trouve un ecart-type que je trouve anormalement eleve. Cela veut-il dire que les valeurs trouves par la methode des moindres carres sont mauvaises ?

[shaiHulud]

Bonjour,

lscov est restreinte au cas de covariance fixe, c'est à dire le cas ou tu spécifie V (et comme tu ne le spécifie pas, il prend l'identité). Cela affecte les performances de l'estimateur vu que tu n'as pas l'air de connaitre V. Il faut se tourner vers les fonctions classiques de regression (regress et regstats, ou la division matricielle à droite).

En ce qui concerne la significativité, l'écart-type est un indicateur (comme un autre) de l'incertitude de l'estimateur.Tu peux aussi faire un test d'hypothèse (tester la nullité du coefficient). Ils sont faits automatiquement par regress et regstats.

Dans le cas de la régression linéaire, on connait exactement (en fonction des paramètres inconnus mais estimés) la variance de l'estimateur. Tu peux trouver la formule facilement. Par contre, le test de significativité va en plus souvent dépendre de la loi des résidus.

[Sally Sk]

Ok, je vais me tourner vers la regression lineaire. C'est en effet plus approprie pour mon cas d'etude.

Merci pour votre aide.

[Sally Sk]

Rebonjour,

J'ai applique vos conseils et ai utilise la fonction regress de matlab pour effectuer ma regression lineaire :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

[coefficients]=regress(B,A)

Mon souhait etait de calculer l'incertitude sur ses coefficients. Pour cela, je calcule la matrice de covariance-variance de â en appliquant les formules suivantes :

s^2 = sum(y_observes - y_estimes) / (n - 3)

var(â) = s^2 (XX')^-1

avec X = [a;b;c] et n le nombre d'observations

Malheureusement, cela ne marche pas car ma matrice XX' n'est pas inversible (je trouve une matrice infinie sur matlab).
Comment puis-je resoudre un tel probleme ?

Merci d'avance.