Structure des expressions mathématiques

Bonjour.
Je voudrais avoir des informations sur les structures des expressions mathématiques.
Ce qu'on apprend au collège et même avant permet de tout ramener à une structure de polynôme par exemple. On a alors des choses comme cela : 9x²-3x+1. Si on met l'expression sous la forme d'un arbre (personellement ceux-là je les vois à l'envers : la racine en haut) on remarque que les multiplications sont tout en bas (monômes) puis il y a les additions (cela forme des polynômes) et c'est tout, mais si on s'interesse aux expressions rationnelles il y a un troisième niveau : la division.
Y a t'il un autre standard, une structuration qui permette de stocker facilement toute expression mathématique "assez simple" (par exemple une expression qui est polynôme) ? Par "facilement", j'entend : qui permette de comparer des expressions, de résoudre des equations, de dériver... de faire des maths, quoi.
Si c'est bien la meilleure (c'est ça qui m'interesserais vraiment), pourquoi cette forme là et pas une autre? Peut-on partir de quelque chose de basique (comme les propriétés du corps des réels) pour arriver assez proprement à une explication ?

Autre question : comme améliorer ce modèle pour stocker systématiquement toute expression trigonométique par exemple?

J'espère avoir été compréhensible.

Bonjour,

ce que tu cherches, ce que tu appelles structure tu vas le retrouver dans les grammaires arithmétiques.
Ce sont les grammaires qui permettent de savoir si une expresssion est correcte. Donc en les modifiant, tu peux les améliorer pour qu'elles acceptent tout types de fonction mathématiques : trigo, log, exp, sqrt, !, ...

A mon avis le plus simple est de traduire TOUT opérateur en mode 'préfixé' (à la Lisp).
Ainsi -a*(b+c) donne quelque chose comme:
(- (* a (+ b c)))
En soi, le préfixé n'a rien de mieux que l'infixe ou la polonaise, mais la structure de liste permet de transposer les arbres:
ainsi :
(a b c) est l'arbre de sommet a ayant b et c comme fils
(a (b c) d) est l'arbre de sommet a ayant b et d comme fils b ayant lui-même c comme fils, etc...
L'expression étant mise sous cette forme l'évaluation est évidente sous forme d'un algorithme récursif extrêmement simple.
eval d'une constante--> la constante elle même
eval d'une variable --> sa valeur
eval d'une liste (op arg1 arg2 arg3 ....argn) ayant un nombre quelconque d'arguments (1,2 ou n)
1) évaluer les arguments
2) appliquer 'op' à la liste des arguments évalués.
Bref, c'est réinventer Lisp mais c'est terriblement simple et diablement efficace.

Oui, c'est dans cette direction que je suis parti. Mais c'est justement l'évaluation des listes qui pose problème : quelles sont les façons de procéder qui permettent à des expressions similaires de se retrouver avec la même structure, et qui traite le plus d'expressions possible ? Apparament la façon dont une expression est agencée quand elle à été calculée définie une grammaire. Je pense que je vais me faire quelques fonctions pour mettre des expressions simples dans une grammaire simple, et ensuite j'améliorerais tout ça, comme me le conseille ToTo13.