Triangle de Pythagore

Bonjour
Je me suis battu avec ChatGPT et leurs diverses déclinaisons pour obtenir une réponse mais face aux résultats, me voila.
j'aimerais simplement savoir comment trouver la longueur des deux cotes d un triangle rectangle autres que l'hypoténuse quand on ne connait que la longueur de l 'hypoténuse.
Je n ai aucun angle, rien d'autre que la longueur de l'hypoténuse.
Je vous remercie de votre aide.

le carré de l'hypothénuse est la somme des carré des autres côtés
donc il faut square (hypothénuse ^2) = square (A^2 + B^2)
on ne peut que faire la somme des carrés soit a = square( hypothénuse ^2 -B ^2)
b = square (Hypothénuse ^2 - A ^2)
on a un système à 2 inconnus a + B = square( hypothénuse ^2 -B ^2) + square( hypothénuse ^2 -A ^2)

Si l'hypothenuse a une longueur de 10, les 2 côtés restants peuvent avoir comme longueur racine(80) et racine(20) , ou encore racine(79) et racine(21) , ou encore blablabla .
Une infinité de solutions.

Si tu recherches uniquement des nombres entiers, très souvent, il n'y aura pas de solution ; parfois il y en aura une ; et plus rarement encore, il y en aura 2 voire plus.

Exemples de questions auxquelles ChatGPT te répondrait très bien :
Quel est le plus petit entier qui se décompose comme somme de 2 carrés de 2 manières différentes ?
Quel est le plus petit entier qui se décompose comme somme de 2 carrés distincts de 2 manières différentes ?
Quel est le plus petit entier qui se décompose comme somme de 2 carrés distincts de 3 manières différentes ?
Pour cette dernière question, ChatGPT donne en plus un argument qui pourrait bien être exact, s'il était correctement formulé.

merci pour vos réponses

Bonjour,

Une autre réponse, plus graphique, est de se rappeler que tout les triangles inscrits dans un cercle dont le plus grand coté passe par le centre sont rectangles. En fixant le diamètre du cercle à la valeur de l'hypoténuse, ils correspondent tous à la description.

Il faut toujours 3 informations pour décrire exactement un triangle (éventuellement à une symétrie près). Moins de 3 => infinité.

Salutations

Citation:

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Envoyé par DarwinTheBeagle

j'aimerais simplement savoir comment trouver la longueur des deux cotes d un triangle rectangle autres que l'hypoténuse quand on ne connait que la longueur de l 'hypoténuse.
Je n ai aucun angle, rien d'autre que la longueur de l'hypoténuse.

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Comment indiqué précédemment, s'il n'y a pas de contrainte, alors il y a une infinité de solutions.

Si on cherche des triangles pythagoriciens (donc avec des longueurs de côtés entières), on peut écrire un petit programme pour trouver les côtés :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7

pour petit variant de 1 à partie_entière(hypothenuse/2) pour grand variant de petit + 1 à hypothénuse - 1 si petit * petit + grand * grand == hypothenuse * hypothenuse alors afficher petit grand hypothenuse fin_si fin_pour fin_pour

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Rq: "grand" peut commencer à "petit + 1" et non "petit" car il est extrêmement rare que le double d'un carré soit un carré (voir la démonstration de l'irrationalité de sqrt(2) par Platon ou ses copains).

Rq: Si le compilateur ne sait pas optimiser les calculs indépendants des indices de boucles, on peut le faire à la main et à sa place (comme à la préhistoire de l'informatique):

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

hypo1 := hypothénuse - 1 hypo_carre := hypothenuse * hypothenuse hypo_demi := partie_entière(hypothenuse/2)   pour petit variant de 1 à hypo_demi grand2 := hypo_carre - petit * petit petit1 := petit + 1 pour grand variant de petit1 à hypo1 si grand * grand == grand2 alors afficher petit grand hypothenuse fin_si fin_pour fin_pour

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L'algorithme, dont la complexité est environ en 3*N*N/8 peut probablement être amélioré...

Citation:

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Envoyé par Guesset

Il faut toujours 3 informations pour décrire exactement un triangle (éventuellement à une symétrie près). Moins de 3 => infinité.

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Comme les 3 angles intérieurs, par exemple ?

Bon, j'avoue, comme la somme des angles est constante, ça ne fait que 2 informations indépendantes...

Bonjour jack-ft,

Citation:

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Envoyé par jack-ft

Comme les 3 angles intérieurs, par exemple ? Bon, j'avoue, comme la somme des angles est constante, ça ne fait que 2 informations indépendantes...

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Oui on pourrait aussi dire que équilatéral de coté C n'a que 2 informations, mais il va falloir l'exprimer sous la forme a= b, b= c, c = C ou par 3 autres égalités.

J'aurais dû préciser qu'une information ne saurait être déduite des autres car dans ce cas elle ne porte aucune ... information :D. Dire qu'un triangle isocèle a deux angles égaux et deux cotés égaux apporte deux information ssi les angles concernés ne sont pas tous les deux opposés aux cotés égaux (équilatéral le retour).

On pourrait aussi dire que triangle est la quatrième information...

Salut

Bonjour jack-ft,

Citation:

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Envoyé par jack-ft

...Si on cherche des triangles pythagoriciens (donc avec des longueurs de côtés entières), on peut écrire un petit programme pour trouver les côtés...

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Pour écrire l'algorithme, on peut aussi demander de l'aide à Fermat :D.

a² + b² = c² => a = u²-v², b = 2uv, c = u²+v² (u > v > 0) : a² + b² = u⁴-2u²v²+v⁴ + 4u²v² = u⁴+2u²v²+v⁴ = c²

Salut

Citation:

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Envoyé par Guesset

Pour écrire l'algorithme, on peut aussi demander de l'aide à Fermat :D.

a² + b² = c² => a = u²-v², b = 2uv, c = u²+v² (u > v > 0) : a² + b² = u⁴-2u²v²+v⁴ + 4u²v² = u⁴+2u²v²+v⁴ = c²

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J'avoue honteusement y avoir pensé... mais de loin...

L'algorithme est bôôôôôôcoup plus efficace (de complexité en N/sqrt(2)) et quasiment tout aussi simple:

Code:

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1 2 3 4 5 6

pour v variant de 1 à partie_entière(hypothenuse/sqrt(2)) u := sqrt(hypothenuse - v * v) si u est entier alors afficher 2*u*v u*u-v*v hypothenuse fin_si fin_pour

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Merci Fermat via Guesset :hola: