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| #programme de simulation de l'oscillation d'une grue flottante
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
### Constantes et données
g = 9.81 # gravitation [m/s**2]
rho = 1000 # masse volumique de l'eau [kg/m**3]
mci = 0.2 # masse du cylindre [kg]
Hci = 0.2 # hauteur du cylindre [m]
dci = 0.05 #diamètre du ccylindre [m]
d = 0.4 # distance finale entre le cylindre et l'axe situé au centre de la grue
### Paramètres du système
mp = 0.540 # masse de la plateforme [kg]
m1 = 2.16 # masse de la grue [kg]
m2 = 0.2 # masse du grappin [kg]
L = 0.6 # longueur de la plateforme [m]
l = 0.6 # largeur de la plateforme [m]
hp = 0.05 # hauteur de la plateforme [m]
hg = 0.6 # hauteur de la grue [m]
D = 0.4 # coëfficient d'amortissement
v0 = 0.5 # vitesse à laquelle le bras est étandu [m/s]
### Paramètres de la simulation
step = 0.001 # pas (dt) [s]
end = 10.0 # durée [s]
theta_0 = 0.0 # angle initial [rad]
omega_0 = 0.0 # vitesse angulaire initiale [rad/s]
t = np.arange(0, end, step)
theta = np.empty_like(t) # angle [rad]
omega = np.empty_like(t) # vitesse angulaire [rad/s]
a = np.empty_like(t) # accélération angulaire [rad/s**2]
Xg = np.empty_like(t) # position en x du centre de gravité du systèmpe
Xc = np.empty_like(t) # positions en x du centre de poussée du système
distance = np.empty_like(t) # distance entre le cylindre et l'axe situé au centre de la grue
Ca = np.empty_like(t)
Cr = np.empty_like(t)
Cd = np.empty_like(t)
C_tot = np.empty_like(t) # somme de tous les couples
e_flotteur = np.empty_like(t) # énergie du flotteur
e_poussee = np.empty_like(t) # éenrgie de poussée
e_charge = np.empty_like(t) # énergie de la charge
e_cin = np.empty_like(t) # énergie cinétique du système
e_tot = np.empty_like(t) # énergie totale du système
def hauteur_volume_imerge():
return (mp + m1 + m2 + mci)/(rho*L*l)
def centrep_centreg():
# centre de gravité et de poussée avant d'appliqué la rotation
# hypothèse que la masse de la grue est centrée, la position en x du centre de gravité vaut donc 0
hc = hauteur_volume_imerge()
Zc = -hc/2 # coordonné en z du centre de poussée du volume imergé
Zgplateforme = hp/2-hc # coordonné en z du centre de gravité de la plateforme
Zggrue = 2*hc # coordonné en z du centre de gravité de la grue
Zggrappin = hp-hc+dci/2 # coordonné en z du centre de gravité du cylindre, en sacahnt que le cylindre est couché sur la plateforme à sa position intiale
Zg = (mp*Zgplateforme + (m1 + m2)*Zggrue + mci*Zggrappin)/(mp + m1 + m2 + mci)
return Zg
def positions_critiques():
hc = hauteur_volume_imerge()
theta1 = math.atan(2*hc/L) # angle de soulèvement
theta2 = math.atan(2*(hp-hc)/L) # angle de submersion
return theta1, theta2
def simulation():
"""
pre: -
post: exécute une simulation jusqu'à t=end par pas de dt=step.
Remplit les listes thèta, omega, a des angles d'oscillation, vitesses angulaires et accélérations angulaires.
"""
# conditions initiales:
theta[0] = theta_0
omega[0] = omega_0
# paramètres
hc = hauteur_volume_imerge()
Zg = centrep_centreg() # centre de gravité initial (position en z)
for i in range(len(t)-1):
dt = step
# Calcul du centre de poussée, de gravité et la distance entre les 2
Xg[i] = (Zg-hc)* np.sin(theta[i])
Xc[i] = (l**2/(12*hc))*math.sin(theta[i])
dist = Xc[i] - Xg[i] # distance entre les positions en x du centre de gravité et du centre de poussée après rotation
# variation de la distance par l'extension du bras de la grue (on suppose la vitesse de ce mouvement constante)
# on considère que le cilindre est au bord de la plateforme au temps t = 0
distance[i] = L/2 + v0*t[i] # distance entre le cylindre et l'axe des z (centre de gravité de la plateforme)
# calcul de l'inertie
I = ((mp + m1)*(hp**2 + L**2))/12 + (m2 + mci)*d**2 # on compte la masse du grappin dans avec la masse du cylindre
# Calculs des couples
Ca = (mci + m2)*g*distance[i] # couple appliqué
Cr = (mp + m1)*g*dist # couple de redressement
Cd = -D*omega[i] # frottement
C_tot[i] = Ca + Cr + Cd
# calcul de l'angle, la vitesse angulaire, l'accélération angulaire
a[i] = C_tot[i]/I
omega[i+1] = omega[i] + a[i] * dt
theta[i+1] = theta[i] + omega[i] * dt
# calcul des énergies:
for i in range(len(t)-1):
e_flotteur[i] = (m1 + m2 + mp)*g*(Xg[i] - Xg[0])
e_poussee[i] = -(m1 + m2 + mp)*g*(Xc[i] - Xc[0])
e_charge[i] = -Ca*theta[i]
e_cin[i] = I*omega[i]**2 / 2
e_tot[i] = e_flotteur[i] + e_poussee[i] + e_charge[i] + e_cin[i]
def graphiques():
theta1, theta2 = positions_critiques()
# graphiques theta, vitesse angulaire, accélération angulaire
plt.figure(1)
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(t,theta, label="theta")
plt.axhline(y = theta1, linestyle = '--', color = 'r', label = 'submersion')
plt.axhline(y = theta2, linestyle = '--', color = 'g', label = 'soulèvement')
plt.legend()
plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(t,omega, label="omega")
plt.legend()
plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(t,a, label="a")
plt.legend()
plt.show()
# graphique des énergies
plt.figure(2)
plt.plot(t, e_flotteur, label="flotteur")
plt.plot(t, e_poussee, label="poussee")
plt.plot(t, e_charge , label="charge")
plt.plot(t, e_cin, label="cinétique")
plt.plot(t, e_tot, label="total")
plt.legend()
plt.show()
# programme principal:
simulation()
graphiques() |
