fitting une courbe (régression multiple) par des coordonées en 3d

Version imprimable

Bonjour,

En effet, j'ai obtenu des coordonnées réelles 3d dans un tableau à 3 colonnes et n lignes ci-dessous :
Code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 33.3846 33 12 32.6 37.05 13 31.875 36.5833 14 30.9231 35.5769 15 29.72 37.24 16 29.1304 34.9565 17 28.1667 35.5556 18 26.8824 34.4706 19 25.9231 34.2308 20 25.2857 35.4286 21 23.9286 37.9286 22 23.0909 37.1818 23 22.5385 33.9231 24 21.1538 36.8462 25 20.3571 38.1429 26 19.8824 34.1765 27 18.8571 35.3571 28 18.3571 35.2857 29 17.3077 33.6154 30 16.4167 35.25 31 15.6667 31.1667 32 14.8182 32.7273 33 14.6 25.4 34 13.8571 24.2857 35 14 9.71429 36 13.2 9.4 37 12.7143 9 38 11.8 8.4 39 11 7.71429 40 10.2 7.4 41 9.71429 7 42 8.8 6.4 43 8 5.71429 44 7.2 5.4 45
et j'aimerais obtenir la droite qui passe au plus près de tous les points et le polynôme qui la représente.

Je ne sais quoi faire (:
En 2d ça me semble faisable au sens des moindres carrés mais avec 3d je ne sais pas comment devrais-je procéder.

Merci beaucoup,
Cordialement,
Maroua

19/05/2011, 14h43
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

et j'aimerais obtenir la droite qui passe au plus près de tous les points et le polynôme qui la représente.

Le "polynome" qui représente une droite dans l'espace ? :koi:

A part une équation paramétrique, je ne vois pas trop.
19/05/2011, 15h48
marouame

Mais je ne vois pas où devrais je placer x, y et z, étant donnée que je suis en 3D?
19/05/2011, 16h13
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

Mais je ne vois pas où devrais je placer x, y et z, étant donnée que je suis en 3D?

Une droite dans l'espace ne peut pas se représenter sous la forme d'un polynome P(x,y,z)=0. Ca c'est l'équation d'un plan.

Pour faire une régression dans l'espace, on peut passer par l'équation paramétrique de la droite D(x,y,z) = P + t*V, ou P est un point de passage et V un vecteur directeur. Avec quelques contraintes sur P et V, cette équation peut être unique, et donc on peut l'utiliser pour trouver les paramètres.
19/05/2011, 16h34
marouame

ce n'est pas alors juste de chercher une équation tel z = f(x,y) en utilisant une régression non linéaire multiple pour trouver la droite qui passe au plus près de tous les points 3D?
J'ai penché pour cette solution après avoir fait des recherche sur le net et étant donnée que mes points forme une droite.
C'est un problème de curve fitting.
ce n'est pas juste de faire comme ça?
19/05/2011, 16h51
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

ce n'est pas alors juste de chercher une équation tel z = f(x,y) en utilisant une régression non linéaire multiple pour trouver la droite qui passe au plus près de tous les points 3D?

z=f(x,y) ne donne pas une droite.

Pour preuve, cette fonction te donnera une valeur de "z" pour TOUS les points (x,y) possibles... Or une seule droite ne passe manifestement pas par TOUS ces points. :D
19/05/2011, 17h07
marouame

oui vous avez tout à fait raison
mais, j'ai trouvé dans un document qui cherche à ajuster une parabole à partir de points 3D
Fitting a Paraboloid to 3D Points of the Form (x, y, f(x, y))
Given a set of samples {(xi, yi, zi)} and assuming that the true values lie on a paraboloid
z = f(x, y) = p1x2 + p2xy + p3y2 + p4x + p5y + p6 = ~P · ~Q(x, y)
where ~P = (p1, p2, p3, p4, p5, p6) and ~Q(x, y) = (x2, xy, y2, x, y, 1), select ~P to minimize the sum of squared
errors
E( ~P) =Somme Samples( ~P · ~Qi − zi)2
19/05/2011, 17h24
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

Fitting a Paraboloid to 3D Points of the Form (x, y, f(x, y))

M'est d'avis qu'il s'agit d'un paraboloïde (surface 3D) et pas d'une parabole (2D).

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...Revolution.png
19/05/2011, 17h32
marouame

Vraiment je suis désorientée et je ne vois pas clairement la solution
Moi tout ce que j'ai besoin est l'équation de la courbe qui passe au près par le max des points afin de déterminer après de nouveaux points à partir de l'équation.
J'ai penché pour régression non linéaire parce que à priori je sais que c'est une courbe (arc d'une ellipse ) et pas une droite affine
et aussi multiple par ce que j'ai x, y et z?
Pouvez vous s'il vous plaî m'éclarcir les idées.
En tout je veux une fonction ou un algorithme implanté en C ou C++ semmblable à la fonction polyfit de matalab qui marche pour 2D.
Merci
19/05/2011, 17h36
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

Vraiment je suis désorientée et je ne vois pas clairement la solution
Moi tout ce que j'ai besoin est l'équation de la courbe qui passe au près par le max des points afin de déterminer après de nouveaux points à partir de l'équation.
J'ai penché pour régression non linéaire parce que à priori je sais que c'est une courbe (arc d'une ellipse ) et pas une droite affine
et aussi multiple par ce que j'ai x, y et z?
Pouvez vous s'il vous plaî m'éclarcir les idées.
En tout je veux une fonction ou un algorithme implanté en C ou C++ semmblable à la fonction polyfit de matalab qui marche pour 2D.
Merci

Si vous êtes certain que tous vos points sont sur un même plan, commencez par chercher l'équation du plan avec une regression lineaire (ax+by+cz=0).

Ensuite projetez les points sur le plan, et vous vous retrouvez dans le cas 2D. ;)
19/05/2011, 17h39
marouame

excusez moi ce n'est pas clair:(
19/05/2011, 17h49
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

excusez moi ce n'est pas clair:(

Vous dites que votre courbe est un "arc d'une ellipse", donc une courbe plane. Je propose donc de se ramener à un problème en 2D en projetant les points sur la plan qui supporte la courbe.
19/05/2011, 17h57
marouame

je ne pense pas qu'elle soit une bonne solution parce si je fais la projection je perds une dimension et après lorsque j'ai besoin d'u nouveau point comment devrais je procéder.
A priori ma courbe n'est pas affine.
Merci,
si je fais une régression linéaire multiple que devrais je avoir comme résultat?
19/05/2011, 18h22
pseudocode

Citation:

Envoyé par marouame

je ne pense pas qu'elle soit une bonne solution parce si je fais la projection je perds une dimension et après lorsque j'ai besoin d'u nouveau point comment devrais je procéder.
A priori ma courbe n'est pas affine.

Affine ou pas, ce n'est pas grave. Le problème c'etait de savoir si la courbe est plane pour se ramener au cas 2D par projection.

Citation:

si je fais une régression linéaire multiple que devrais je avoir comme résultat?

Aucune idée. Ca dépend du modèle.
19/05/2011, 18h36
prgasp77

Bonjour,
je ne comprends pas pourquoi la solution des moindres carrés a été éliminée.

Nous avons une droite https://chart.googleapis.com/chart?c...%20t\vec%20u\}, avec https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\vec%20u unitaire.

L'erreur https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=e_i pour le point https://chart.googleapis.com/chart?c...chl=\vec%20X_i est la distance de ce point à la droite (d). Ainsi, le carré de l'erreur est https://chart.googleapis.com/chart?c...vec%20u%20\|^2

De là, bien que ce soit long est un peu loud, on peut en déduire https://chart.googleapis.com/chart?c...\,\sum%20e_i^2 et ainsi les https://chart.googleapis.com/chart?c...al%20p_\theta} et https://chart.googleapis.com/chart?c...al%20u_\theta} avec https://chart.googleapis.com/chart?c...{x,%20y,%20z\}.