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Bonjour tous,
je sais que les "double" peuvent stocker des nombres de -1e308 à 1e308 mais qu'en est il pour la precision de calcul pour des petits nombres?
j'ai entendu que les résultats était correct à 10e-16 près, donc ca veut dire que si je fais des opérations avec des double du type 10e-29 , 10e-40 mes résultats seront faux ??
Merci de m'éclaircir ce point s'il vous plait :calim2:
N'oublie pas que tes float ou double sont codés en binaire et pas en décimal. Choisir un intervalle en base 10 est une bonne approximation, mais tu risques d'avoir quelques surprises désagréables lorsque tes nombres se rapprocheront des limites.
Ensuite, l'exposant d'un double tient sur onze bits et est signé. Cela veut donc dire que le nombre minimum théorique (hors valeurs réservées) vaut 1,0⋅2⁻¹⁰²⁴, ce qui correspond à peu de choses près à 1,0⋅10⁻³⁰⁸, et pas -1,0⋅10³⁰⁸, que l'on peut aussi représenter à peu de choses près.
Par contre, un flottant, ça utilise le principe de la notation scientifique. Dès que le nombre binaire correspondant à la valeur que tu veux coder dépasse 24 bits dans un float ou 53 dans un double, tu perdras en précision.
Tu peux également lire ces discussions :
http://www.developpez.net/forums/d63...f/#post3744727
http://www.developpez.net/forums/d84...on-aux-floats/
Excuse moi mais je suis un (grand) débutant, j'aurais besoin de plus de détails pour bien comprendre...
je n'ai pas bien compris cela... Un double ou float doit etre codé en binaire mais nous on lui donne un décimal et ca pose probleme car il est difficile d'écrire un décimal en binaire?Citation:
Envoyé par Obsidian
mes souvenir concernant cela sont loin, pourquoi 1,2 ne s'écrit pas:Citation:
Envoyé par Obsidian
1.10 ?
:Citation:
Envoyé par Obsidian
je n'ai pas bien compris ce passage...
si j'ai bien compris l'exposant le plus petit possible pour un double est 1e-308 ?Citation:
Envoyé par Obsidian
53bits ca correspond à combien de chiffres en décimales? (tu peux me donner le détails pour que je comprennes?)Citation:
Envoyé par Obsidian
merci pour ton aide
typiquement dans mon code je manipule des nombres de l'ordre de grandeur:
6.5678e-40
la precision sera à 10e-55 pres non?
Certainement…Citation:
Envoyé par 21did21
Non. Ton décimal sera converti en binaire et stocké ainsi. Ce que je veux dire, c'est que bon nombre de scientifiques dont l'informatique n'est pas le métier principal tendent à établir d'emblée l'intervalle d'un nombre flottant entre deux puissances de dix, quitte à se laisser des marges. Or, les limites des ces nombres flottants sont des nombres « ronds » en binaire, mais pas en décimal. Donc, si un programmeur a pris d'emblée l'habitude de se référer à ces limites approximatives, il risque d'avoir des surprises lorsqu'il va les approcher.Citation:
je n'ai pas bien compris cela... Un double ou float doit etre codé en binaire mais nous on lui donne un décimal et ca pose probleme car il est difficile d'écrire un décimal en binaire?
Le binaire n'est pas un format arbitraire inventé pour l'informatique comme le sont les nombres flottant IEEE en simple ou double précision. Le binaire, ce n'est rien d'autre que la base 2.Citation:
mes souvenir concernant cela sont loin, pourquoi 1,2 ne s'écrit pas:
1.10 ?
En décimal, la « première colonne » est celle des unités, la suivante celle des dizaines, la suivante celle des centaines, et ainsi de suite. En binaire, la « première colonne » est celle des unités, la suivante celle des multiples de 2, la suivante celle des multiples de 4, celle d'après les multiples de 8, etc.
En partant de l'autre côté, à droite de la virgule, la première colonne (donc la première décimale) est celle des dixièmes, la suivante celle des centièmes, puis celle des millième, etc.
En binaire, donc, les chiffres à droite de la virgule sont respectivement celui des demis « ½ », puis celui des quarts « ¼ », puis celui des huitièmes, etc.
1,11 en binaire vaut donc 1 + 0,5 + 0,25 soit 1,75 en décimal.
1,10 en binaire vaut donc 1 + 0,5 = 1,5 et le zéro de droite est un zéro non significatif.
Maintenant, si l'on cherche à approcher « 1,2 » :
1b (« 1 en binaire ») = 1d (« 1 en décimal ») ;
1,1b = 1,5d → trop grand ;
1,01b = 1,25d → trop grand ;
1,001b = 1,125d → ok ;
1,0011b = 1,1875d → ok;
1,00111b = 1,21875d → trop grand ;
1,001101b = 1,203125d → trop grand ;
1,0011001b = 1,1953125 → ok ;
…
Dans certains cas, tu finiras par trouver le compte juste. Dans d'autre (comme ici), tu te contenteras de tourner autour sans jamais trouver une valeur exacte. C'est ton ordinateur qui, une fois la limite atteinte, procédera à un arrondi par défaut ou par excès, et en fonction de ta base.
À noter que c'est vrai dans toutes les bases. Par exemple, en décimal, « un tiers : 1 ÷ 3 » s'écrit 0,333333… et ce nombre n'est pas un nombre fini. Par contre, en base 9, cette même valeur « 1 ÷ 3 » s'écrit exactement « 0,3 ».
C'est le principe de la notation scientifique. Relis bien la discussion en entier, l'explication est tout en bas.Citation:
je n'ai pas bien compris ce passage...
À l'école, au collège, on nous apprenait souvent, en cours de physique, à représenter les grandeurs avec deux chiffres après la virgule et un exposant. Par exemple :
« 1,43 ⋅ 10⁻⁵ »
« 6,13 ⋅ 10³ »
Dans le second exemple, 6,13 ⋅ 10³ vaut en fait 6130. Avec seulement deux chiffres après la virgule, tu pourras représenter 6120 ou 6140, mais pas 6131.
Non, pour être parfaitement exact, l'exposant le plus petit sur un double est « 2⁻¹⁰²³ ». Cette valeur correspond grosso-modo à 10⁻³⁰⁸, mais ce n'est qu'une approximation.Citation:
si j'ai bien compris l'exposant le plus petit possible pour un double est 1e-308 ?
« bit » signifie « Binary Digit », soit « chiffre binaire ». Avec 53 bits, tu peux compter de 0 à 2⁵³-1, de la même façon qu'avec trois chiffres décimaux, tu peux compter de 0 à 10³-1, donc de 000 à 999.Citation:
53bits ca correspond à combien de chiffres en décimales? (tu peux me donner le détails pour que je comprennes?)
Si tu veux savoir combien cela fait, ouvre une calculatrice sur ton ordinateur :
2⁵³ - 1 = 9.007.199.254.740.991
Plus que l'exposant, c'est surtout le nombre de décimales qui est important. Ici, tu utilises quatre décimales après la virgule. Cela fait donc un champ de 100.000 points (parce qu'il y a autant de combinaisons possibles de 0 à 9,9999 qu'il y en a de 0 à 99.999, soit cent mille moins 1).Citation:
Envoyé par 21did21
Cent mille s'écrit 11000011010100000 en binaire, soit 17 bits. Ça tient largement dans la mantisse d'un double (53 bits) et même d'un float (24 bits), même en tenant compte des imprécisions.
Par contre, il faut se souvenir que modifier un exposant « 10 » en binaire ne se fait pas simplement : « 12 » est un nombre entier et sera donc toujours codable en binaire. Par contre, « 1,2 » ne peut pas être représenté de manière exacte, même si ton ordinateur s'arrange pour retomber sur ses pieds et te présenter une valeur aussi correcte que possible.
Ce n'est pas un problème en soi, sauf si tu fais beaucoup de calculs entre différentes valeurs, toutes endémiquement imprécises. En principe, statistiquement, les différentes imprécisions devraient se compenser entre elles et, la plupart du temps, tu n'auras jamais d'ennuis. Mais dans certains cas, notamment lors de progressions géométriques, il se peut que les imprécisions se cumulent dans le même sens et qu'à terme, tu ne puisses plus garantir la validité des nombres que tu obtiens. Mais tu aurais le même problème avec une bête calculatrice…
Si tu en arrives là, le meilleur moyen de s'en affranchir est de travailler avec des nombres entiers, et de gérer soi-même les ordres de grandeur en fin de calcul.
Selon le standard IEEE 754 double précision, le plus petit nombre normalisé (2**-1022), le plus grand nombre dénormalisé est (2**-1022 - 2**-1074) et le nombre normalisé suivant est (2**-1022 + 2**-1074).Citation:
Envoyé par 21did21
La précision est dont de l'ordre de 2**-1074, ce qui vaut environ 5 x 10**-324.
Thierry
merci tous pour votre aide :ccool:
c'est vraiment tres gentil, quel super forum :)
Bonjour,
Tu es sûr de toi pour « -1074 », ça me paraît être une valeur un peu bâtarde, surtout que onze bits permettent de coder un nombre de -1024 à +1023. Il y a l'air d'y avoir une faute sur Wikipédia…Citation:
Envoyé par Thierry Chappuis
À ton service.Citation:
Envoyé par 21did21
Lis aussi ceci : http://download.oracle.com/docs/cd/E..._goldberg.html
Sauf erreur de ma part, le plus petit nombre normalisé dans IEEE 754 s'écrit:Citation:
Envoyé par Obsidian
l'exposant vaut 1-1023=-1022, la mantisse 2**0 et le signe est positif, ce qui nous donne 2**0 x 2**-1022Code:0 00000000001 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00
Le plus petit nombre normalisé qui suit s'écrit:
l'exposant vaut toujours 1-1023 = -1022, la mantisse (2**0 + 2**-52) et le signe est positif, ce qui nous donne 2**0 x 2**-1022 + 2**-52 x 2**-1022 = 2**-1022 + 2**(-1022-52) = 2**-1022 + 2**-1074Code:0 00000000001 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00
L'écart entre les deux plus petits nombres normalisés est par conséquent de 2**-1074, à savoir DBL_EPSILON * 2**-1022.
DBL_EPSILON représente la différence entre le nombre (double) 1.0 et le nombre suivant et vaut 2**-52 ~= 2.220446 x 10**-16, sur les machines où les nombres à virgules flottantes sont implantés en conformité avec le standard IEEE 754, ce qui est bien le cas de ma machine:
affiche:Code:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Code:
2
Par ailleurs, l'erreur entre chaque nombre dénormalisé et entre le plus grand nombre dénormalisé positif et le plus petit nombre normalisé positif vaut 2**-1022 * DBL_EPSILON = 2**-1074 ~= 5 x 10**-324.
Peut-être que quelque chose m'échappe.... (?)
Avec mes meilleures salutations
Thierry
Ok, ok, ok ! C'est moi qui avait lu trop vite. On parle bien de précision. L'exposant minimum vaut 2⁻¹⁰²² et, donc, la plus petite décimale dans cet ordre de grandeur vaut à peu près 2⁻¹⁰⁷⁴ puisqu'elle se trouve 52 bits plus loin.
C'est donc bien moi qui m'emmêlais les pinceaux.
Merci pour ces précisions.