Approximation de la dérivée seconde

Bonjour à tous,

J'ai une petite question concernant l'approximation numérique de la dérivée seconde d'une fonction quelconque.

J'ai besoin d'effectuer ce calcul, mais lorsque j'utilise l'apporximation connue :
F''(x) = ( F(x+dx) + F(x-dx) - 2F(x) ) / ( dx^2 )

Pour dx très petit, j'obtiens 0 comme valeur à chaque fois alors que ce n'est pas du tout ce que je devrais obtenir. J'ai l'impression que c'est à cause de l'approximation des "double".

Mais pourtant lorsque j'utilise l'approximation de la dérivée normale ( f(x+dx) - f(x) ) / dx j'obtiens la dérivée au point x sans problème.

Pourquoi le "passage" à la dérivée seconde ne marche-t-il pas ? Et comment remédier à cela ?

J'espère avoir été clair.
Merci beaucoup d'avance

Je ne sais pas où tu as trouvé ton approximation.
j'en ai bricolé une à la main uniquement avec la définition, et ça marche:
Exemple en python:

Code:

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def f2(f,x,dx): return (f(x+2*dx)-2*f(x+dx)+f(x))/(dx*dx)   def f(x): return x*x*x   n=100 for i in xrange(1,n): dx=1.0/i print f2(f,1,dx)

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Citation:

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Envoyé par Zavonen

Je ne sais pas où tu as trouvé ton approximation.
j'en ai bricolé une à la main uniquement avec la définition, et ça marche

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c'est la meme formule, a un offset "+dx" près.

Citation:

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c'est la meme formule, a un offset "+dx" près.

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Sauf que, pour commencer, la mienne va fonctionner sur chacune des deux bornes de l'intervalle de définition, s'il s'agit d'un intervalle borné et pas l'autre formule.
En outre tu parles seulement du numérateur, alors dans ce cas 0/dx et dx/dx c'est la même à dx près (au numérateur) l'une tend vers 0 et l'autre vers 1. Donc je ne suis pas si sûr que les choses soit équivalentes à un offset dx près, surtout quand cet offset tend vers 0.

C'était juste une observation sur ta remarque "Je ne sais pas où tu as trouvé ton approximation."

titiii : f''(x) = ( f(x+dx) + f(x-dx) - 2f(x) ) / ( dx^2 )

zavo : f2(x) = (f(x+2*dx)-2*f(x+dx)+f(x))/(dx*dx)

moi : f2(x) = f"(x+dx)

:D

Citation:

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moi : f2(x) = f"(x+dx)

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Je vois que tu es en forme.
Je relève le défi:
f2(x)=f"(x)
qui dit mieux ?;)

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Je vois que tu es en forme.

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Oui bon. Pour redevenir serieux, est-ce que titiii voudrait nous donner les valeurs numériques de f() qu'il a utilisé pour comprendre où est le probleme ?

Si la formule de titiii était juste on obtiendrait 0 pour valeur de la dérivée seconde en zéro pour toute fonction impaire.
Si nous prenons par exemple la fonction définie par f(x)=x^2/2 pour x>0 et -x^2/2 pour x<0. Cette fonction n'a pas de dérivée seconde en zéro mais deux demi-dérivées secondes égale à -1 et +1 respectivement.
La formule que je propose les trouve.

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Si la formule de titiii était juste on obtiendrait 0 pour valeur de la dérivée seconde en zéro pour toute fonction impaire.
Si nous prenons par exemple la fonction définie par f(x)=x^2/2 pour x>0 et -x^2/2 pour x<0. Cette fonction n'a pas de dérivée seconde en zéro mais deux demi-dérivées secondes égale à -1 et +1 respectivement.
La formule que je propose les trouve.

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Oui, bien sur. Il faut que la fonction soit dérivable au point considéré (je suppose que c'est son cas) et dans ce cas la formule est correcte.

Je pense qu'il y a plutot un problème de code ou de calcul numérique (précision). Ou alors un problème de fréquence échantillonnage de sa fonction f().

Bonjour à tous!
Il y a un point essentiel qui me semble ne pas avoir été mentionné dans cette discussion (ou alors, ça m'a échappé): comment la fonction F(x) est-elle définie? Si c'est analytiquement, un bon traité d'analyse, ou un logiciel tel que Mathematica ou Maple devrait faire l'affaire. Si c'est par une suite de paires de valeurs [xk, F(xk)], alors dx est imposé et on ne peut pas le faire varier pour optimiser le calcul des dérivées. Personnellement, si j'avais à résoudre ce problème, je ferais un spline cubique que je dériverais deux fois analytiquement. Parfois, ça marche...
Jean-Marc Blanc.

Bonjour à tous
Je sais, j'arrive un peu tard, mais bon, on sait jamais, je peux toujours essayé de me rendre util :aie:
Effectivement, deux cas de figure se présente :
- ou la fonction est définie analytiquement ;
- ou alors, ce n'est définie que comme un tableau de valeur ;
Le premier des deux cas sera le plus simple et, même si des logiciel de math peuvent donner la réponse, il est toujours intéressant de voir les techniques qui peuvent être employées en programmation...

La formule utilisée est bonne (différence centrée), mais il faut tenir compte de deux choses :
1) Si tu veux utiliser directement cette formule, il faut que tu détermines ta valeur critique de dx, valeur pour laquelle le résultat sera le plus proche de la réponse attendue. Mais bon, cette méthode est très calculatoire et ne donnera pas toujours le meilleurs des réusltats.
2) Tu peux tenter une autre version qui, souvent, marche bien (toujours différence centrée) : F''(x) = (-F(x+2dx)+16F(x+dx)-30F(x)+16F(x-dx)-F(x-2dx))/12dx²
3) comble du bonheur, une méthode qui marche quasimen tout le temps (j'ai toujours pas rencontré de problème avec celle-ci) : l'extrapolation de richardson. Le principe, en soit n'est pas très compliqué, mais risque d'être long à expliquer ici. Je conseil un petit tour sur google pour essayer de trouver des explications, mais attention : l'approche utilisée sur la plupart des sites risque de faire peur, donc il faut un bon niveau en math...

Salut!
Tu peux aussi essayer de faire un spline cubique et de le dériver 2 fois (analytiquement).
Jean-Marc Blanc