Matlab me fait une division par zéro!

Bonjour à tous.

J'ai un rapport à faire et je dois interpréter une erreur que me fait Matlab.
Je m'explique.

Cela concerne la résolution d'un système linéaire par la méthode de décomposition LU.

Je suis en présence des matrices suivantes:
A= [1 1 -1; 1 1 1;1 -1 1] et b=[1;2;3]
Je dois résoudre le système Ax=b.
Or d'après la méthode LU: A=LU.
Manuellement, quand je calcul les coefficients des matrices L et U, je me rend compte que le coefficient de la matrice L à la ligne 3, colonne 2 est indéterminé car je dois diviser par 0.

Or quand je rentre dans Matlab cette matrice et ce vecteur:

[L,U]=lu(A)

Matlab ne me renvoie pas de message d'erreur.

Manuellement j'ai:
L=[1 0 0; 1 1 0; 1 -inf 1]

Or Matlab me donne:
L=[1 0 0; 1 0 1; 1 1 0]

Sachant que en réorganisant L à l'aide de la commande [L,U,P] = lu(A), j'obtiens:
L=[1 0 0; 1 1 0; 1 0 1]

Bref, Matlab me renvoie 0 comme valeur au lieu de me dire qu'il y a une erreur.

Donc ma question est:
POURQUOI?
Que fait Matlab comme opération pour trouver cette valeur?

J'ai essayé d'être la plus claire possible, même si cela n'est pas évident.

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre.

Cordialement.
Laetitia.