Intersection d'une droite et d'un plan

Voilà, j'ai un problème simple, mais qui m'empêche de continuer dans mon prog...

J'ai l'équation d'un plan P sous forme 0=ax+by+cz+d
Ensuite, j'ai les coordonnées de 2 points a(ax,ay,az), b(bx,by,bz)

Comment connaitre les coordonnées du point d'intersection M entre la droite formé par (ab) et le plan P ?? Sachant que la droite et le plan peuvent être n'importe comment dans l'espace (vertical, horizontal, parallèles - c'est plus embétant :wink: )
Déja, je n'arrive plus à calculer une équation de droite dans l'espace :D !

Voilà, si quelques boss des maths pouvez m'aidez, je leur en serais trèès reconnaissant. ^^

Snark

bien le bonjour,

pour avoir une equation de (AB):
(AB) = { M(x,y,z) de l'espace / [AM] = k.[AB] } avec [] des vecteurs et k qui parcourt R

(AB) est donc definie par 3 equations a 4 inconnues (x,y,z,k)
donc tu pourras t'en sortir en resolvant le systeme des equations de (AB) et du plan.

Faudra penser a gerer les cas sans solutions, avec une infinite de solutions et les autres trucs tout aussi sympas.

Equation du plan P: a.x + b.y + c.z + d = 0 ( 0 )
sa normale est donc le vecteur N ( a, b, c )

la droite D définie par 2 points A1( a1,b1,c1) et A2( a2,b2,c2) peut aussi être donnée comme la droite passant par A1 (a1,b1,c1) de direction U ( a2-a1, b2-b1, c2-c1). Si on note U = (u1,u2,u3) = (a2-a1,b2-b1,c2-c1), la droite D est l'ensemble des points X définis par

---->
XA1 =
-->
U * k . k dans R ( 1 )


1> U scalaire N = 0

=> D paralelle à P alors
- si A1 appartient à P, toute la droite est dans le plan
- si A1 n'appartient pas a P alors la droite est // à P sans intersection

2> U . N non nul

on cherche X(x0,y0,z0) sur la droite donc si on exprime ( 1 ) sous forme paramétrique, il existe k tel que
X0 = a1 + k . u1
Y0 = b1 + k . u2 ( 2 )
Z0 = c1 + k . u3

Si on reporte ses 3 expressions dans l'équation de P ( 0 ) on à une équation à 1 inconnue et du 1er degré.
Elle une solution unique pour k si on a pris le soin de correctement analyser le cas 1>.
Si non on retrouve ici les 2 sous cas de 1> via une équation du type 1=1 ( vrai quelque soit k 0> D dans P) ou du type 1=2 ( faux quelque soit k, D // P aucune intersection)
On reporte alors la valeur obtenue pour k dans les 3 équations paramétriques (2) de la droite.

On obtient le triplet ( x0, y0, z0) définissant le point d'intersection.

aie aie aie.... Je me suis brusquement rendu compte que j'était nul en calcul vectoriel. :cry:

Citation:

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(AB) = { M(x,y,z) de l'espace / [AM] = k.[AB] } avec [] des vecteurs et k qui parcourt R

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J'ai un peu du mal à déchiffrer la ligne là... 8O
Sinon, le principe d'avoir l'équation du plan + l'équation de la droite pour résoudre, c'était mon but. Mais comme je ne sais plus retrouver une équation de droite, je suis bien embeter...

De plus, j'y pense... J'ai besoin en faîte de retourver le point d'intersection, uniquement du segment [AB]... Donc, je faisait un test pour savoir avant si les 2 points étaient du même coté du plan, dans ce cas, ça coupe forcement pas le plan. Et ça exclue aussi toute possibilité que la droite soit parallèle au plan.

Citation:

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Equation du plan P: a.x + b.y + c.z + d = 0 ( 0 )
sa normale est donc le vecteur N ( a, b, c )

la droite D définie par 2 points A1( a1,b1,c1) et A2( a2,b2,c2) peut aussi être donnée comme la droite passant par A1 (a1,b1,c1) de direction U ( a2-a1, b2-b1, c2-c1).Si on note U = (u1,u2,u3) = (a2-a1,b2-b1,c2-c1), la droite D est l'ensemble des points X définis par
---->
XA1 =
-->
U * k . k dans R ( 1 )

---

Jusque là, ok... U est la direction de la droite non normalisé. Et on a le vecteur généralisé pour tout points de la droite.

Citation:

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1> U scalaire N = 0

=> D paralelle à P alors
- si A1 appartient à P, toute la droite est dans le plan
- si A1 n'appartient pas a P alors la droite est // à P sans intersection

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Vi, logique... Faudra juste que je me rappel comment calculer la normal d'un plan ^^ (vive google)

Citation:

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2> U . N non nul

on cherche X(x0,y0,z0) sur la droite donc si on exprime ( 1 ) sous forme paramétrique, il existe k tel que
X0 = a1 + k . u1
Y0 = b1 + k . u2 ( 2 )
Z0 = c1 + k . u3

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Ha bah oui, pas bête ça !!! :roll:

Citation:

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Si on reporte ses 3 expressions dans l'équation de P ( 0 ) on à une équation à 1 inconnue et du 1er degré.
Elle une solution unique pour k si on a pris le soin de correctement analyser le cas 1>.
Si non on retrouve ici les 2 sous cas de 1> via une équation du type 1=1 ( vrai quelque soit k 0> D dans P) ou du type 1=2 ( faux quelque soit k, D // P aucune intersection)
On reporte alors la valeur obtenue pour k dans les 3 équations paramétriques (2) de la droite.

On obtient le triplet ( x0, y0, z0) définissant le point d'intersection.

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Reste plus qu'a passé à la pratique !!! J'ai compris la technique, c'est un bon point. 8)
(J'ai quand même passé la moitié de mon après midi a essayer de comprendre.... Je suis vraiment mauvais)

Merci beaucoup :!: :!: :!:

Impeccable !!! Merci, ça marche super bien ^^...
Vive le calcule vectoriel (faudra que je m'y remette didonc ;))

vous avez dit

U est la direction de la droite normaslisée




En fait U est la """direction""" du vecteur NORNAL ( c.a.d.) orthoronal) au pan P

Ici il n'y a ni droite ni nornalisation ...