Exponentielle d'une matrice complexe

Bonjour !

je cherche à calculer l'exponentielle d'une matrice complexe (8x8). pour l'instant, j'ai simplement utilisé la somme de 1/(k!)*A^k, en variant k de 0 à la valeur maximale supportée...

cependant, mon programme de simulation "part aux fraises" pour certaines valeurs. :oops:

j'en conclus que la somme que j'utilise n'est pas précise. il ne m'est pas possible d'augmenter la précision en prenant des k plus grands.

que faire pour m'en sortir ?

quelqu'un connaitrait un algorithme fiable pour calculer l'exponentielle d'une matrice ? Merci d'avance pour votre aide

Salut!

Citation:

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calculer l'exponentielle d'une matrice

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Que veux-tu faire avec?
Jean-Marc Blanc

j'ai besoin de l'exponentielle d'une matrice afin de calculer l'évolution de la matrice densité (rho) d'un système de spin :

rho(t+tau_1) = exp(-i*H*tau_1)*rho(t)*exp(i*H*tau_1)

où H est l'Hamiltonien qui comprend les interactions qui régissent mon système. les dimensions de l'Hamiltonien sont (2^N)x(2^N), où N est le nombre de spins qui forment mon système. mon programme actuel utilise 3 spins, et il me faut donc effectuer les calculs sur des matrices 8x8 (mais j'ai dans l'espoir de l'étendre à un nombre de spins supérieur).

une fois que j'obtiens le propagateur (P = exp(-i*H*tau_1)), j'effectue une boucle de n cycles, et j'ai l'impression que je propage une erreur, qui donne des résultats aberrants avec un nombre de cycle élevé.

j'espère que mon explication n'est pas trop "fouilli" :oops:

merci d'avance pour votre aide !

Salut!

Citation:

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rho(t+tau_1) = exp(-i*H*tau_1)*rho(t)*exp(i*H*tau_1)

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Ceci ressemble à s'y méprendre à une formule de récurrence. Est-ce que par hasard tu ne serais pas en train d'essayer d'intégrer un système différentiel par la méthode d'Euler?
Jean-Marc Blanc

Citation:

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Envoyé par FR119492

Est-ce que par hasard tu ne serais pas en train d'essayer d'intégrer un système différentiel par la méthode d'Euler?
Jean-Marc Blanc

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euh... :oops: ça dépasse mes compétences... :oops:
l'équation de départ (Liouville - von Neumann) est la suivante :

d(rho(t))/dt=-i*[H(t), rho(t)]
dans tous les textbooks de résonance magnétique nucléaire, on nous dit "simplement" que la solution est :

rho(t)=U(t)*rho(0)*U(t)^-1 où U est le propagateur...

j'ai écrit un programme en matlab qui fonctionne parfaitement (la fonction expm étant déjà implémentée), mais lorsque je l'écris en Fortran, j'ai dû créer la fonction et j'ai utilisé la somme décrite plus haut dans ce fil.

:oops:

Si ça peut t'aider, tu peux chercher dans les méthodes de propagations de paquets d'ondes.

C'est une problématique classique pour les gens qui calculent la dynamique quantique de molécules. Dans leurs cas ils ont des choses très précises avec des matrices énormes vu qu'ils prennent en compte beaucoup de niveau de vibrations. Et le propagateur est quasiment le même donc ton problème doit déjà avoir une subroutine quelque part :)

Bon courage

Salut!

Citation:

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ça dépasse mes compétences...

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Dommage! Mais il n'est jamais interdit d'apprendre.

Citation:

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on nous dit "simplement" que la solution est :
rho(t)=U(t)*rho(0)*U(t)^-1

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Ce qui veut dire simplement qu'ils ont choisi une solution analytique. Personnellement, j'utiliserais plus volontiers une solution numérique (RK4 ou autre) pour intégrer le système
d(rho(t))/dt=-i*[H(t), rho(t)]
Jean-Marc Blanc

Citation:

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Envoyé par FR119492

Dommage! Mais il n'est jamais interdit d'apprendre.

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entièrement d'accord avec toi ! :D

j'admets très volontiers que la façon dont j'ai abordé le problème n'est pas la meilleure.

quels seraient les avantages d'une approche différente (solution numérique) ?

pour l'approche analytique, en fortran, ce qui me pose problème c'est (uniquement) de calculer l'exponentielle d'une matrice, car sous Matlab, tout fonctionne parfaitement.

en tout cas, merci pour votre aide !
a+

Salut!

Citation:

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quels seraient les avantages d'une approche différente (solution numérique) ?

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Le principal avantage, c'est que les méthodes numériques, je connais, alors que l'exponentielle d'une matrice, je n'avais jamais vu.

Citation:

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pour l'approche analytique, en fortran, ce qui me pose problème c'est (uniquement) de calculer l'exponentielle d'une matrice

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Si tu peux me donner une définition rigoureuse de l'exponentielle d'une matrice (ce qu'on ne trouve malheureusement pas dans le help de Matlab), j'essaierai de te proposer un moyen de le calculer.
Jean-Marc Blanc

Citation:

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Envoyé par Niko95

pour l'approche analytique, en fortran, ce qui me pose problème c'est (uniquement) de calculer l'exponentielle d'une matrice, car sous Matlab, tout fonctionne parfaitement.

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Matlab utilise apparemment des routines assez sophistiquées pour ce calcul. Il y a une discussion qui est parue sur la ML Numpy qui discutait de cela, et Matlab implémenterait les algorithmes de cet article : http://eprints.ma.man.ac.uk/1217/01/...S_ep2009_9.pdf

Un petit cours d'algèbre linéaire qui couvre l'exponentielle d'une matrice.
L'exercice corrigé n°10 donne une technique de calcul rapide de l'exponentielle, à l'aide d'une diagonalisation.