Calcul de MSD (mean square displacement)

Bonjour,

Voici mon probleme: je cherche a calculer la MSD (mean square displacement) d'un signal a 1 dimension en appliquant la formule ci joint en attachement.

Mais je pense qu'il y a une faute dans mon code, car si je l'applique a des nombres aleatoires avec l'aide de la fonction rand, je ne trouve pas une relation lineraire.

Voici le code:

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

clc clear all close all   d=rand(5000,1); t=1:1:5000; GN=size(t); GN=GN(2);   for n=1:GN temp = 0; for i=1:GN-n temp = temp+(d(i+n)-d(i))^2; end msd(n) = 1/(GN-n)*temp; end   subplot(2,1,1) plot(t,d) title('Random motion') subplot(2,1,2) plot(t,msd) title('MSD of a random motion')

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Merci d'avance,

Naomie

Bonjour,

1 - ton code correspond exactement à ta formule

2 - je n'obtiens effectivement aucune relation linéaire, cependant, je ne vois pas comment ta formule pourrait en donner une sur un tel bruit.

Tu génère un vecteur de rand : loi uniforme. Chacune de tes coordonnées de ton vecteur de rand est indépendante. Ainsi en calculant ton MSD, tu calcules seulement la moyenne des différences au carré entre deux variables aléatoires uniformes indépendantes. Ce qui donne forcément une constante pour tout n. Ce serait différent si tu générais un bruit corrélé et non pas un bruit blanc.

Le fait que ce ne soit pas tout à fait constant est du au nombre d'échantillons pris en compte dans la moyenne, qui diminue lorsque n augmente. Si tu augmentes, tu t'approcheras de la valeur théorique et constante pour tout n.

Enfin, à propos de cette valeur théorique, que donne ta formule ?
Tu calcules la valeur moyenne du carré de la différence entre deux variables aléatoiresX1 et X2 indépendantes suivant une loi uniforme sur [0,1], soit :

E([X1-X2]^2) = var(X1-X2)+E(X1-X2)^2
E([X1-X2]^2) = var(X1-X2)
E([X1-X2]^2) = var(X1)+var(X2) (car X1 et X2 indépendantes)
E([X1-X2]^2) = 2*1/12 (1/12 : variance de la loi uniforme)
E([X1-X2]^2) = 0.16666...

C'est bien ce qu'approchent tes graphiques.

Enfin, une petite optimisation de ton code, pour le plaisir :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

clear all close all   N=5000; d = rand(N,1);   for n=1:N msd(n) = mean((d(n+1:N)-d(1:N-n)).^2); end   subplot(2,1,1) plot(d) title('Random motion') subplot(2,1,2) plot(msd) title('MSD of a random motion')

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Allez, bonne soirée !