compréhension pratique de la DCT

Bonjour,

beaucoup d'articles expliquent le fonctionnement de la transformée en cosinus discrète (DCT) sans expliquer pourquoi elle fonctionne.

je suis à la recherche d'un cours, ou d'un tutoriel expliquant "théoriquement" comment fonctionne la transformée en cosinus discrète, c'est à dire comment sont séparées les fréquences, les amplitudes. J'ai déjà compris le fonctionnement à partir de la définition de la DCT, que ce soit la définition par des sommes ou la définition matricielle (orthogonale, dans le cas d'une transformée sur des blocs 8*8 en 2d).

pour être clair, j'ai compris le fonctionnement des formules de maths, il me reste à comprendre "avec les mains", comment ça sépare les fréquences.

Auriez-vous des pistes ?

Merci beaucoup !


je travaille sur le sujet pour un TIPE (petit (tout petit) travail de recherche demandé aux élèves de prépa) sur la résistance de tatouages numériques d'image à la compression jpeg. Mes connaissances en maths sont celles d'un élève de prépa mp*.

bah, je vois pas trop comment expliquer "avec les mains". :aie:

C'est une projection sur une base... donc un calcul de produit scalaire entre le signal et chaque "vecteur" de la base. Les vecteurs ici sont des sinusoïdes de différentes fréquences.

C'est plus clair ?

Tu devrais être capable -- si je ne me trompe pas sur le niveau: je ne suis
pas issu du système scolaire français -- de montrer que l'intégrale du
produit de deux fonctions sinusoidales (k \sin \omega x + \phi, \omega est
la fréquence et \phi est la phase) est non nul que si les fréquences sont
identiques. De même, tu peux montrer qu'avoir l'intégrale avec sin et cos
d'une fréquence donnée permet de retrouver l'intensité k et la phase \phi.

Si tu as une fonction qui est la somme d'une série de sinusoidale, utiliser
cette propriété permet de déterminer l'intensité et la phase de chacune des
fréquences.

Il reste quelques points qui sont à éclaircir (certains devrait être à ta
portée, vraisemblablement pas tous).

- montrer que pour toute fonction périodique peut s'exprimer sous forme
d'une somme (infinie) de sinuosidales de fréquence multiple de la
fréquence de la fonction.

- montrer que pour une fonction impaire, les phases sont toutes nulles, que
pour une fonction paire, les phases sont toutes de \pi/2 (donc une
fonction paire est exprimable sous forme de somme de cosinus sans
déphasage).

- montrer que si tu ne t'intéresses qu'à des points périodiquement espacés,
tu n'as besoin que d'un nombre fini de termes et que l'intégrale se
remplace par somme de produits.

Dans la DFT, tu as une série d'échantillons que tu as prolongées pour avoir
une fonction périodique en les répétant.

Dans la DCT, tu as une série d'échantillons que tu as prolongées pour avoir
une fonction périodique paire en les répétant une première fois en miroir
puis en répétant le résultat. Avantages: tu n'as plus à t'occuper des
phases (donc moins de calculs) et en pratique la convergence est plus
rapide -- autrement dit ne conserver que les n premières intensités donne
une meilleure approximation que conserver autant de termes d'une DFT.

J'ai compris !!

merci à vous deux

il suffit de prendre le produit scalaire canonique sur les fonctions : int( f * g ), et on montre que les x->cos(nx), y->sin(nx) forment, à bricolage près avec des constantes, une famille orthonormée. Ensuite, on fait des projections orthonormales, et ça marche.

bon, j'ai quand même attendu de faire des trucs analogues en cours pour piger ^^ honte à moi


merci !

Citation:

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Envoyé par sdx

il suffit de prendre le produit scalaire canonique sur les fonctions : int( f * g ), et on montre que les x->cos(nx), y->sin(nx) forment, à bricolage près avec des constantes, une famille orthonormée.

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En fait, il faut montrer que ça forme un BASE, parce que sinon ça va être dur de reconstruire le signal d'origine. :aie: