Méthode de Newton à deux variables

Bonjour à tous,

Débutant en matlab, je me permets de poster ici car je cherche à écrire un programme Matlab qui permet de résoudre ce système d'équation :

f(x,y) = x^3 - 3*x*y^2 + 1 = 0
g(x,y) = 3*x^2*y - y^3 = 0

en utilisant la méthode de Newton dans le cas de deux variables x et y.
J'ai représenté ces deux équations et je vois qu'il y a trois solutions (j'ai utilisé la fonction ezplot).
J'ai essayé de faire un programme mais il ne fonctionne pas. Quelque soit les x0 et y0 que je rentre, j'obtiens toujours une seule solution (-1;0).

Pourriez-vous m'écrire le script de la méthode de Newton dans le cas de deux variables ?

Je vous remercie d'avance.

Salut,

la question est déjà traitée :

Lien

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Merci beaucoup.
Mais je n'ai pas tout compris.

Le script que je dois rentrer dans matlab est bien celui ci :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

% Conditions initiales x(1)=0.85; y(1)=0.35; % x(1)=0.2; y(1)=0.1; % Algorithme de Newton-Raphson for i=2:10 diff=inv([2*x(i-1)-1 2*y(i-1);2*x(i-1) -2*y(i-1)-1]); f=x(i-1)^2-x(i-1)+y(i-1)^2; g=x(i-1)^2-y(i-1)^2-y(i-1); xy=[x(i-1) y(i-1)]'-diff*[f,g]'; x(i)=xy(1); y(i)=xy(2); end

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En remplaçant f et g par mes équations. J'enregistre ce script mais je n'ai pas compris comment lancer ce script dans le menu commande de matlab. Je m'excuse, je débute en matlab.

Merci encore pour ton aide.

Salut !
Ton problème vient simplement du fait que, par son principe même, la méthode de Newton ne donne, pour chaque paire x0, y0, qu'une solution. Il faut donner une autre paire pour trouver une autre solution. On appelle bassin d'attraction d'une solution l'ensemble des points de départ à partir desquels tu arriveras à cette solution. Il peut arriver que la taille des bassins d'attraction des diverses solutions soit très différente. Tu peux essayer de prendre un point de départ très proche des deux "autres" solutions et voir si ça converge vers celle-ci; si oui, tu prends un point de départ un peu plus éloigné, et ainsi de suite.
Jean-Marc Blanc

commences par faire un tour du coté des Tutorials.

Merci.

Le programme suivant fonctionne très bien :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(1)=3; y(1)=4; for i=2:10 diff=inv([2*x(i-1)-2 2*y(i-1)-4;-1 1]); f=x(i-1)^2+y(i-1)^2-2*x(i-1)-4*y(i-1)-4; g=-x(i-1)+y(i-1)+1; xy=[x(i-1) y(i-1)]'-diff*[f,g]'; x(i)=xy(1) y(i)=xy(2) end

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J'obtiens bien l'attracteur le plus proche du point de départ que j'indique.
Cependant je cherche à faire une boucle tant que x(i)-x(i-1) et y(i)-y(i-1) < 10^-9. Je ne veux pas à avoir à préciser le nombre d'itération i mais j'aimerais que le programme s'arrête dès que la précision voulue (10^-9) soit atteinte.

J'utilise "while" mais je n'ai aucun résultat.

Merci pour votre aide.

Comme ceci :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

x=3; y=4;   d = 0;   while ~d % Resultats de l'iteration precedente xi = x; yi = y;   diff=inv([2*xi-2 2*yi-4;-1 1]); f=xi^2+yi^2-2*xi-4*yi-4; g=-xi+yi+1; xy=[xi yi]'-diff*[f,g]';   x=xy(1); y=xy(2);   d = abs(x-xi)< 10^-9 && abs(y-yi)< 10^-9   end

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Tu risques d'avoir des problèmes en refusant d'avoir des itérations. Ces méthodes de résolutions non linéaires ne sont pas des plus précises. Tu imagines un puit de potentiel en deux dimension représentant l'erreur à chaque itération et dont les axes sont définis par les paramètres à touver. Ce que fait le programme, c'est qu'il calcule le gradient de cette fonction et pointe dans la direction qui minimise l'erreur. Mais une fois arrivé dans le fond du puit, il y a plusieurs petites 'bosses', qui sont en fait plein de minima locaux et ton programme va en pointer un. Pour avoir vraiment une bonne précision, une fois que ton programme se trouve dans le fond du puit, il faut arrêter le programme de résolution d'équations non linéaires et passer à une minimisation de l'erreur en faisant varier chacun des paramètres indépendament les uns des autres.
Sinon, je pense que ton ordinateur risque de tourner très longtemps parce qu'il se peut qu'il reste toujours dans son minimum local.....

Citation:

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Envoyé par mr_samurai

Comme ceci :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

x=3; y=4;   d = 0;   while ~d % Resultats de l'iteration precedente xi = x; yi = y;   diff=inv([2*xi-2 2*yi-4;-1 1]); f=xi^2+yi^2-2*xi-4*yi-4; g=-xi+yi+1; xy=[xi yi]'-diff*[f,g]';   x=xy(1); y=xy(2);   d = abs(x-xi)< 10^-9 && abs(y-yi)< 10^-9   end

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Merci mr samourai.
je voulais juste te demander si d=0 ou d=1 correspondent à vrai ou faux.
vrai : les deux abs sont inférieurs à 10^-9
et faux : les deux abs ne sont pas inférieurs à 10^-9 ou pas simultanément

merci encore

Exactement,

vrai : les deux abs sont inférieurs à 10^-9
faux : au moins l'un deux est plus grand que 10^-9.

on utilise ~d pour la boucle WHILE , donc on continue jusqu'à ce que d deviens vrai (~d faux).

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Ok, merci pour ces explications.

J'ai déjà bien avancé grâce à toi.

Je souhaiterais maintenant colorier la région du plan qui conduit à une convergence vers l'un des attracteurs et dans une autre couleur les points qui diverge des attracteurs.
En fait, j'ai un cercle qui est coupé par une droite. Cela forme donc deux points; appelés attracteurs (c'est à dire solution de mon système cercle et droite.) Voici les équations de mon système :

x²+y²-2x-4y-4=0
-x+y+1=0

J'aimerai colorier les régions du plan pixel par pixel. Je ne sais pas comment faire avec Matlab pour colorier.

Si vous pouvez m'éclaircir... Je vous remercie

salut,

ma première idée serai de travailler sur un matrice (espace discret) :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

n = 1000; % Taille M = zeros(n); scale = 100; % l'échelle : 100px par unité EPS = 0.5; % à vérifier   % Ajouter cercle : for i=1:n for j=1:n I = i/scale; J = j/scale; if abs(I^2+J^2-2I-4J-4) < EPS M(i,j) = 1; end end end   % ... Ainsi de suite

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Salut,

En rentrant ton code, j'ai ce message d'erreur :

??? if abs(I^2+J^2-2I-4J-4) < EPS |
Error: Unexpected MATLAB expression.

Je ne comprends pas trop. Pourquoi tu indiques que EPS=0.5 ? Je voudrais que tous les points qui convergent vers un attracteur soit bleu par exemple. Ainsi, sur mon graphe où il y a mon cercle et ma droite, la région du plan où les points convergent vers un des points d'intersection serait colorier en bleu.

Dans ton code, je ne vois pas le rapport qu'il peut y avoir avec la méthode de newton en fait.

Je te remercie.

t'as mal recopier le code je pense.

Sinon, c'etait juste une piste a toi de faire ton devoir ;)

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Correction :

Code:

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1 2	I^2+J^2-2*I-4*J-4

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Merci pour la correction. Je n'ai plus de message d'erreur mais je ne comprends vraiment pas ce que fais ton code.

Mais je vais continuer à chercher. ;)