l'ACP est elle invariante en translation et en rotation?

Bonjour;
je voulais savoir si l'Analyse en composantes principales est invariante en translation et en rotation??? (je cherche une explication mathématique)une autre question, le but de l'ACP est de donner une représentation réduite d'un nuage de données initiales par les composantes principales, donc elle est ou l'analyse ici??? dans mon application j'ai des matrice de plus que 1000*1000 pour la matrice de covariance, et j'ai utilisé la méthode QR et la méthode de la puissance itérée, mais le problème de cette dernière est qu'elle dégrade le résultat aprés chaque itération alors j'aurai pas le résultat exact; y a pas une autre possibilité???
merci d'avance

Citation:

le but de l'ACP est de donner une représentation réduite d'un nuage de données initiales par les composantes principales, donc elle est ou l'analyse ici???

L'ACP te permet d'abord d'obtenir la représentation de tes variables dans une nouvelle base orthonormée de dimension p, ou p inférieur à la dimension initiale de ton nuage de données. Cette base othonormée est composée des p composantes principales suivant l'ordre décroissant de leur valeur propre.

La partie "Analyse" commence alors avec l'interprétation du résultat...
- Quelle serait la qualité de l'information donnée par la représentation de tes variables dans le plan principal (les coordonnées de chacune de tes variables sur les 3 premières composantes principales)?
- La corrélation entre tes donnée intiales et les composantes principales si chacune des données initiales est concrète. Par exemple, dans le cadre de l'étude sectorielle des dépenses d'une boite, si tes variables sont les années et tes données le % des dépenses dédiées à une catégorie, il peut être interressant de savoir que la donnée relative à la rémunération des employés à un coef de corrélation avec la première composante principale de 0.8!
- ...

Enfin voila, pour te dire que la partie Analyse repose dans l'étude du résultat brut. (Lors d'un stage, mon boss de l'ENSAE m'avait sorti le que sais-je? "l'analyse de données" édité en 1980... j'ais jamais aussi bien compris l'ACP qu'avec ce bouquin!)

Je ne dispose malheureusement d'aucune explication mathématique pour te démontrer que l'ACP est invariante en translation et en rotation. Etant donné les propriétés de conservation de la translation et de la rotaion cela me parait assez évident toutefois.

Quand à la méthode utilisée, si tu as les moyens d'utiliser matlab et notamment la fonction princomp() ne t'en prive pas, une matrice de covariance de 1000*1000 ne devrait pas trop lui poser de pb.

Citation:

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Envoyé par lili81

Bonjour;
je voulais savoir si l'Analyse en composantes principales est invariante en translation et en rotation??? (je cherche une explication mathématique)

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L'invariance par translation vient du fait que tu centre les données avant
de chercher les composantes. L'invariance par rotation vient du fait
que tu projettes sur le (hyper) plan de variance (inertie en
mécanique ou physique) maximale, ta projection sera "à une rotation du
(hyper) plan près" la même.

Citation:

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Envoyé par lili81

le but de l'ACP est de donner une représentation réduite d'un nuage de données initiales par les composantes principales, donc elle est ou l'analyse ici??? dans mon application j'ai des matrice de plus que 1000*1000 pour la matrice de covariance,

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Si tu as une matrice de covariance (1000,1000) cela signifie que tu as
1000 variables (colonnes) dans ton tableau de départ... A mon avis ce que
tu cherches à faire c'est plutôt de la réduction de dimension que de l'analyse
de donnée.


La méthode svd marche bien en grande dimension. Ca t'évite de calculer
la matrice de corrélation.

Serge

merci nonoprig et SIovleff pour vos réponses,
donc comme vous avez dis l'ACP est invariante par rotation et par translation mais moi j'ai appliqué l'ACP sur les images pour la reconnaissance et mon problème est que lorsque je change l'orientation de mes objets, l'ACP ne connait pas cette objet malgré que c'est le même donc ma question est es ce que c'est normal, parce qu'elle est appliquée sur des images???
merci d'avance.

Citation:

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Envoyé par lili81

l'ACP ne connait pas cette objet

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Comment tu passes de l'ACP à la reconnaissance de forme ?

donc j'ai utilisé l'ACP pour représenter mes objets dans l'images, j'ai construit pour chaque objet un certain nombre d'images puis j'ai appliqué l'ACP, et pour la reconnaissance, pour les images en entrée, je calcule l'erreur de projection sur tous les espaces propres et je selectionne celle qui donne l'erreur minimale. mais je me suis rendue compte que si je change l'orientation de mes objets dans l'image, l'objet ne sera pas reconnu, j'ai une explication est que le problème reside dans le calcul de la distance car c'est insuffisant comme information, et c'est ici le problème de la rotation et non pas dans l'ACP, es ce que c'est juste mon explication ?
je cherche une validation et merci d'avance

Ah... tout ca c'est pour faire du "shape matching". Dans ce cas, voila quelques méthodes usuelle:

normaliser en translation = centrer sur l'isobarycentre
normaliser en echelle = diviser par la variance
normaliser en rotation = se placer dans le repere de l'ACP