partie entière de la racine carrée d'un entier

Bonjour

soit r(n) la partie entière de la racine carrée de l'entier impair n.

Peut-on obtenir r(n+2) à partir de r(n) ?

Bonjour,

La fonction réelle SQRt(x+2) - SQRT(x) est décroissante.
On montre que pour x > 1/2, la différence est < 1.

Donc r(N+2) - r(N) = 0 ou 1, et que :

r(N+2) = r(N) = k, si k^2 <= n < (k+1)^2 - 1
r(N+2) = r(N) + 1 = k+1, si (k+1)^2 - 1 <= n < (k+1)^2

Si je ne me suis pas trompé dans mon raisonnement et mes encadrements.

en fait, je n'ai pas envie de faire des multiplications mais plutôt de raisonner sur des suites mais ce que tu m'as dit m'a mis sur la piste.

soit r(n) la partie entière de la racine carrée de l'entier impair n.
soit c(n) le carré de r(n).

on a r(n+2) = r(n) ou r(n) + 1.

pour faire le choix, on vérifie que c(n+2) <= n+2 < c(n+2) + 1
plus précisemment :
si c(n) <= n+2 < c(n) + 1 alors r(n+2) = r(n)
si c(n) + 1 + 2r(n) <= n + 2 < c(n) + 2 + 2r(n) alors r(n+2) = r(n) + 1

Il suffit donc de vérifier où se situe c(n) + 1 par rapport à n + 2. En plus, à chaque itération, on met la suite c à jour plus facilement.

qu'en pensez-vous ?

Citation:

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c(n) <= n+2 < c(n) + 1

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Ca ne marche pas :
- prends n=9, R(9) = 3 donc c(9) = 9
- N+2 = 11, R(11) = 3, donc c(11) = 9
- or d'après le critère cité : 9 <= 11 < 10, 8O

effectivement, je me suis trompé, le test à faire est :

si c(n) + 1 + 2r(n) <= n + 2, alors r(n+2) = r(n) + 1 et c(n+2) = c(n) + 1 + 2r(n)
sinon r(n+2) = r(n) et c(n+2) = c(n)

Citation:

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Envoyé par corentin59

Bonjour

soit r(n) la partie entière de la racine carrée de l'entier impair n.

Peut-on obtenir r(n+2) à partir de r(n) ?

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Non :

Code:

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1 2 3 4

r(6) = r(7) = 2 r(6 + 2) = r(8) = 2 r(7 + 2) = r(9) = 3

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